Ок. Давайте разберемся с открытыми и замкнутыми множествами на с. 16-17 книжки Иосиды "Функциональный анализ".
1. В низу страницы 16 Иосиды формулируется критерий бикомпактности пространства.
Цитата:
...для любой центрированной системы

...
Предполагается,
для любой центрированной системы замкнутых множеств?
Во-первых, проблема перевода (я смотрю в оригинал). Там говорится о любой центрированной системе
замкнутых подмножеств (closed subsets with finite intersection property). Эти замкнутые подмножества не попали в перевод. Во-вторых, и в оригинале и в переводе путаница: упоминается

и их центрированная система, а пересечение берётся по

.
Я думаю, что имеет место опечатка (как в оригинале, так и переводе). Система

- система открытых подмножеств покрывающих пространство, а

- система их дополнений. Т. е. центрированная система замкнутых множеств.
2. Далее системы

и

также подразумеваются системами замкнутых множеств? В частности

предпологается максимальной центрированной системой замкнутых множеств?
С начала доказательства (со слов «Пусть теперь») нет ни слова о том центрированную систему, каких множеств автор рассматривает. Так что мы не можем считать, что эти множества замкнуты или открыты.
3. Далее, множества

и

открыты.
Да, множества

и

открыты.
4. Утверждается, что
открытое множество

должно содержаться в центрированной системе
замкнутых множеств (поскольку она максимальна).
И как же это тогда утверждается?
Где и кто сказал, что центрированная система

центрированная система замкнутых множеств? Центрированная система

не была определена, как центрированная система замкнутых множеств.
5.
Цитата:
Всякое открытое множество пространства

, содержащее точку

, по определению содержит пересечение указанного выше типа;
Да. Написанное выше бесспорно верно.
А кто с этим спорит?
Цитата:
отсюда мы заключаем,
(Честно сказать, непонятно, как мы это заключаем)
Цитата:
что точка

должна принадлежать пересечению

.
А что здесь непонятного? Центрированная система

максимальна и указанное открытое множество пересекается с каждым множеством этой системы. Поэтому это открытое множество должно принадлежать системе (из-за её максимальности). А точка принадлежит каждому такому открытому множеству.
Ещё несколько замечаний. Центрированная система

является максимальной центрированной системой. Это значит, что если добавить хотя бы ещё одно множество, то система перестанет быть центрированной. В этой системе есть, по крайней мере, одно замкнутое множество (всё пространство). Следовательно, в максимальной центрированной системе есть максимальная центрированная подсистема замкнутых множеств. А каждая центрированная подсистема замкнутых множеств имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда пространство компактно. Соответственно, если мы докажем, что каждая максимальная центрированная система множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку, то пространство компактно (или как переведено в русском варианте книги Иосиды бикомпактно). Доказательством того, что, по крайней мере, одна точка в пересечении имеется и занят автор.