Произведение бесконечного числа компактов компактно?

[fiktor]

Пусть K компактно. Верно ли, что для любого множества S компактно также $X=\prod\limits_{s\in S}$ K (с топологией произведения)? Как это доказать?

Умею только для конечных S. Понятно, что от S существенна только мощность. Для того, чтобы доказать, что компактно произведение конечного числа экземпляров K достаточно доказать, что для любых двух компактов X и Y их декартово произведение компактно.
Пусть $X\times Y$ покрыто открытыми множествами. Не умаляя общности можно считать, что эти множества имеют вид $U_\alpha\times V_\alpha$ (такие множества образуют базу топологии произведения). Надо выделить из этого покрытия конечное подпокрытие. Для каждой точки $y\in Y$ множества $U_\apha$, для которых соответствующие $V_\alpha$ содержат точку y, покрывают X. Поскольку X компактно из этого набора можно выделить конечное подпокрытие $U_{\alpha_i}$. Объединение множеств $U_{\alpha_i} \times V_{\alpha_i}$ содержит в себе $X\times V$, где $V=\bigcap_i V_{\alpha_i}$. Получающиеся при такой процедуре множества $X\times V_y$ покрывают все $X\times Y$ и являются открытыми подмножествами конечных объединений исходных множеств. Поскольку $V_y$ (открыты и) покрывают все Y из них можно выбрать конечное подпокрытие. Таким образом получается конечное подпокрытие $X\times Y$, что и требовалось.

Для бесконечных S, конечно, греет душу факт, что для открытые множества из базы топологии имеют вид $\prod_s U_s$, где все $U_s$ кроме конечного числа совпадают с K (а остальные открыты), но почему-то это мне все-равно не помогло.

[terminator-II]

fiktor в сообщении #227712 писал(а):

Пусть K компактно. Верно ли, что для любого множества S компактно также $X=\prod\limits_{s\in S}$ K (с топологией произведения)? Как это доказать?

прямое произведение компактов -- компакт. это теорема Тихонова. см., например, Иосида Функциональный анализ"

fiktor в сообщении #227712 писал(а):

Для бесконечных S, конечно, греет душу факт, что для открытые множества из базы топологии имеют вид $\prod_s U_s$, где все $U_s$ кроме конечного числа совпадают с K (а остальные открыты), но почему-то это мне все-равно не помогло.

да так топология в тихоновском произведении и определяется

[мат-ламер]

В общем случае нужно привлекать довольно сложные понятия, типа ультрафильтров.

[terminator-II]

fiktor:
Вы формулы свои всетаки поправьте

мат-ламер в сообщении #227721 писал(а):

В общем случае нужно привлекать довольно сложные понятия, типа ультрафильтров.

доказывается теорема Тихонова простое, основано на лемме Цорна. ультрафильтры не нужны. образовывайтесь.

[fiktor]

Спасибо, terminator-II. В Иосиде все написано (хотя, видимо, там в некоторый момент написано слово "открытое" вместо "замкнутое", центрированная система все-таки должна быть системой замкнутых множеств). Доказательство написано понятно, разобрался.

P.S. Не понял, о каком общем случае идет речь. Проблема разрешилась чтением теоремы Тихонова.

P.P.S. Проблема разрешилась, так что тему, видимо, можно закрывать.

P.P.P.S. Формулы подправил.

[Виктор Викторов]

fiktor в сообщении #227726 писал(а):

Спасибо, terminator-II. В Иосиде все написано (хотя, видимо, там в некоторый момент написано слово "открытое" вместо "замкнутое", центрированная система все-таки должна быть системой замкнутых множеств). Доказательство написано понятно, разобрался.

В Иосиде полный порядок. Определение центрированной системы дано для системы любых множеств. А вот дальше «Рассматривая дополнения открытых множеств, образующих покрытие пространства X, нетрудно заметить, что топологическое пространство бикомпактно тогда и только тогда, когда для любой центрированной системы $\{M_\alpha ; \alpha\in A\}$ подмножеств…». Речь идёт о системе дополнений открытых множеств. И это, конечно, система замкнутых множеств.

мат-ламер в сообщении #227721 писал(а):

В общем случае нужно привлекать довольно сложные понятия, типа ультрафильтров.

А это приятный звон от Бурбаки. Конечно, там эта теорема доказана сложнее, но некоторым нравится. Например, мне. Посмотрите в «Общая топология. Основные структуры».

[fiktor]

Ок. Давайте разберемся с открытыми и замкнутыми множествами на с. 16-17 книжки Иосиды "Функциональный анализ".

1. В низу страницы 16 Иосиды формулируется критерий бикомпактности пространства.

Цитата:

...для любой центрированной системы $\{M_\alpha;\; \alpha \in A\}$...

Предполагается, для любой центрированной системы замкнутых множеств?

2. Далее системы $\{N\}$ и $\{S\}$ также подразумеваются системами замкнутых множеств? В частности $\{N\}$ предпологается максимальной центрированной системой замкнутых множеств?

переходим на страницу 17.
3. Далее, множества $G_{\alpha_0}$ и $G^{(\alpha_0)}$ открыты.

4. Утверждается, что открытое множество $G^{(\alpha_0)}$ должно содержаться в центрированной системе $\{N\}$ замкнутых множеств (поскольку она максимальна).
И как же это тогда утверждается?

5.

Цитата:

Всякое открытое множество пространства $X$, содержащее точку $p$, по определению содержит пересечение указанного выше типа;

Да. Написанное выше бесспорно верно.

Цитата:

отсюда мы заключаем,

(Честно сказать, непонятно, как мы это заключаем)

Цитата:

что точка $p=\prod\limits_{\alpha \in A}p_\alpha$ должна принадлежать пересечению $\bigcap\limits_{N\in\{N\}}N^\alpha$.

[Виктор Викторов]

fiktor в сообщении #233187 писал(а):

Ок. Давайте разберемся с открытыми и замкнутыми множествами на с. 16-17 книжки Иосиды "Функциональный анализ".

1. В низу страницы 16 Иосиды формулируется критерий бикомпактности пространства.

Цитата:

...для любой центрированной системы $\{M_\alpha;\; \alpha \in A\}$...

Предполагается, для любой центрированной системы замкнутых множеств?

Во-первых, проблема перевода (я смотрю в оригинал). Там говорится о любой центрированной системе замкнутых подмножеств (closed subsets with finite intersection property). Эти замкнутые подмножества не попали в перевод. Во-вторых, и в оригинале и в переводе путаница: упоминается $\{M_\alpha;\; \alpha \in A\}$ и их центрированная система, а пересечение берётся по $M_\alpha^a$.
Я думаю, что имеет место опечатка (как в оригинале, так и переводе). Система $\{M_\alpha;\; \alpha \in A\}$ - система открытых подмножеств покрывающих пространство, а $\{M_\alpha^a;\; \alpha \in A\}$ - система их дополнений. Т. е. центрированная система замкнутых множеств.

fiktor в сообщении #233187 писал(а):

2. Далее системы $\{N\}$ и $\{S\}$ также подразумеваются системами замкнутых множеств? В частности $\{N\}$ предпологается максимальной центрированной системой замкнутых множеств?

С начала доказательства (со слов «Пусть теперь») нет ни слова о том центрированную систему, каких множеств автор рассматривает. Так что мы не можем считать, что эти множества замкнуты или открыты.

fiktor в сообщении #233187 писал(а):

3. Далее, множества $G_{\alpha_0}$ и $G^{(\alpha_0)}$ открыты.

Да, множества $G_{\alpha_0}$ и $G^{(\alpha_0)}$ открыты.

fiktor в сообщении #233187 писал(а):

4. Утверждается, что открытое множество $G^{(\alpha_0)}$ должно содержаться в центрированной системе $\{N\}$ замкнутых множеств (поскольку она максимальна).
И как же это тогда утверждается?

Где и кто сказал, что центрированная система $\{N\}$ центрированная система замкнутых множеств? Центрированная система $\{N\}$ не была определена, как центрированная система замкнутых множеств.

fiktor в сообщении #233187 писал(а):

5.

Цитата:

Всякое открытое множество пространства $X$, содержащее точку $p$, по определению содержит пересечение указанного выше типа;

Да. Написанное выше бесспорно верно.

А кто с этим спорит?

fiktor в сообщении #233187 писал(а):

Цитата:

отсюда мы заключаем,

(Честно сказать, непонятно, как мы это заключаем)

Цитата:

что точка $p=\prod\limits_{\alpha \in A}p_\alpha$ должна принадлежать пересечению $\bigcap\limits_{N\in\{N\}}N^\alpha$.

А что здесь непонятного? Центрированная система $\{N\}$ максимальна и указанное открытое множество пересекается с каждым множеством этой системы. Поэтому это открытое множество должно принадлежать системе (из-за её максимальности). А точка принадлежит каждому такому открытому множеству.

Ещё несколько замечаний. Центрированная система $\{N\}$ является максимальной центрированной системой. Это значит, что если добавить хотя бы ещё одно множество, то система перестанет быть центрированной. В этой системе есть, по крайней мере, одно замкнутое множество (всё пространство). Следовательно, в максимальной центрированной системе есть максимальная центрированная подсистема замкнутых множеств. А каждая центрированная подсистема замкнутых множеств имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда пространство компактно. Соответственно, если мы докажем, что каждая максимальная центрированная система множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку, то пространство компактно (или как переведено в русском варианте книги Иосиды бикомпактно). Доказательством того, что, по крайней мере, одна точка в пересечении имеется и занят автор.

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #227724 писал(а):

простое, основано на лемме Цорна. ультрафильтры не нужны.

Это сложный вопрос, насчёт того, что проще: лемма Цорна или ультрафильтры.

Многолетней практикой замечено: студенты осваивают понятие ультрафильтра за один семинар и потом успешно решают задачи на эту тему, но стабильно испытывают трудности даже просто с заучиванием форомулировки леммы Цорна к экзамену. Не говоря уж о применениях этой леммы. А уж её доказательство я, помню, сам на втором курсе не смог ответить

[fiktor]

Ок. Предположим, что в качестве систем $\{N\}$ и $\{S\}$ берутся просто центрированные системы, не обязательно состоящие из замкнутых множеств.

Тогда
1. Поскольку в критерии бикомпактности берется центрированная система замкнутых множеств, нельзя гарантировать непустоты пересечения системы $\{N_\alpha\}$: она теперь не следует из бикомпактности $X_\alpha$.

2.

Виктор Викторов в сообщении #233200 писал(а):

А что здесь непонятного? Центрированная система $\{N\}$ максимальна и указанное открытое множество пересекается с каждым множеством этой системы. Поэтому это открытое множество должно принадлежать системе (из-за её максимальности). А точка принадлежит каждому такому открытому множеству.

Ок. Каждое открытое множество, содержащее точку p лежит в системе $\{N\}$. Из этого не следует, что точка p лежит в пересечении множеств этой системы.

3.

Виктор Викторов в сообщении #233200 писал(а):

Соответственно, если мы докажем, что каждая максимальная центрированная система множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку, то пространство компактно (или как переведено в русском варианте книги Иосиды бикомпактно). Доказательством того, что, по крайней мере, одна точка в пересечении имеется и занят автор.

Тот факт, что любая максимальная центрированная система множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку неверен почти никогда (более точно, он верен тогда и только тогда, когда пространство конечно): он никак не использует топологию. Поэтому не удивительно, что при такой интерпретации доказательства в нем нашлись ошибки: доказать такой (неверный) факт не представляется возможным.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #233200 писал(а):

Ещё несколько замечаний. Центрированная система $\{N\}$ является максимальной центрированной системой. Это значит, что если добавить хотя бы ещё одно множество, то система перестанет быть центрированной. В этой системе есть, по крайней мере, одно замкнутое множество (всё пространство). Следовательно, в максимальной центрированной системе есть максимальная центрированная подсистема замкнутых множеств. А каждая центрированная подсистема замкнутых множеств имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда пространство компактно. Соответственно, если мы докажем, что каждая максимальная центрированная система множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку, то пространство компактно (или как переведено в русском варианте книги Иосиды бикомпактно). Доказательством того, что, по крайней мере, одна точка в пересечении имеется и занят автор.

Тут меня слегка занесло. Действительно, если мы докажем, что каждая максимальная центрированная система множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку, то пространство компактно. Но обратно работает только то, что если пространство компактно, то каждая максимальная центрированная система его замкнутых множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку. Поэтому автор доказывает, что максимальная центрированная система замкнутых множеств имеет в пересечении хотя бы одну точку. Проблема в обозначениях, используемых Иосидой.

Цитата:

что точка $p=\prod\limits_{\alpha \in A}p_\alpha$ должна принадлежать пересечению $\bigcap\limits_{N\in\{N\}}N^\alpha$.

Индекс сверху видите? Т. е. рассматривается пересечение только подсистемы замкнутых подмножеств. Но, Иосида не написал, что он в данном случае имеет в виду под $N^\alpha$ замкнутое множество. Доказательство-то верное, но обозначения… Посмотрите, как он описал проекцию члена максимальной центрированной системы на координатное подпространство. «Для каждого множества $N$ системы $\{N\}$ определим множество $N_\alpha=\{f(\alpha);\; f\in N\}\subseteq X_\alpha$.» Понять можно только, если знать в чём дело.
Попутно замечу превратности перевода. «Поскольку точка вида $p_{\alpha_0}$ принадлежит пересечению $\bigcap\limits_{N\in\{N\}}N_{\alpha_0}^a$,». В оригинале нет слова «вида» совершенно непонятного в данном контексте. «But since $p_{\alpha_0}$ belongs to the intersection $\bigcap\limits_{N\in\{N\}}N_{\alpha_0}^a$,». Поэтому должно быть: «Поскольку точка $p_{\alpha_0}$ принадлежит пересечению $\bigcap\limits_{N\in\{N\}}N_{\alpha_0}^a$,». Посмотрите это доказательство во втором издании Келли «Общая топология» страница 193.

[Paata]

Мне тоже не очень понятно как Иосида заключение делает о том что точка $p$ лежит в пересечении. В конце мы дошли до того что всякое открытое множество содержащее точку $p$ лежит в системе, но как отсюда селдует что точка $p$ лежит в каждом замкнутом множестве из этой системи?
я подумал и кроме следующего ответа в голову нечего не приходит: давайте докажем что это точка будет принодлежать каждому замкнутому множеству из этой системи. пусть сшествует замкнутое множество из этой системи которая не содержит эту точку значит сушествует открытое множество этой точки в $X$ которая не пересекается с этим замкнутым множеством. А вот тут и получается противоречие с тем что кажое открытое множество содержашее точку $p$ должна лежать в системе, т.е. пересекатся с любbIм множеством этой системи в том числе и с замкнутыми из этой системи.

P.S.
и еще хочу добавить что Виктор Викторов сказал правильно что Иосида рассматривает только замкнутые множество из центрированой системи (если она максимальна) и действительно такое есть так как в максимальной системе как уже было сказано содержится хотябы все пространство как замкнутое множество. И еще в доказательстве используется то что если система максимальна в $X$ то проекции этой системи на $X_{\alpha}$ будет максимальна в $X_{\alpha}$. (ну это легко показать) поэтому в проекционной максимальной центрированой системе определено нетривиальная центрированая подсистема замкнутых множеств, поэтому там работает эквивалентное определение слова "компактности."

мне очень понравилась ваша дискуссия, были разумные вопросы и разумные ответи.