Два предела с гамма-функцией

[Legioner93]

Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, вычисление двух пределов.
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln{\Gamma (n)}}{n}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\psi (n)=\infty$
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln{\ln{\Gamma (n)}}}{\ln{n}}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\psi (n)}{\ln{\Gamma (n)}}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\ln{n}}{\ln{\Gamma (n)}}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\ln{n}}{\psi (n)}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\ln{n}}{\ln{n}}=1$
В обоих пределах я пользовался правилом Лопиталя.
В каком ошибка? Ведь не могут же быть они верны одновременно? Спасибо.

[lel0lel]

Почему не могут?? Вполне могут.

[Padawan]

В первой строчке описка - должно , видимо, быть $\lim\limits_{n\to\infty}\psi(n)$. Исправьте.

[Legioner93]

Исправил, спасибо.
lel0lel
Но тогда получается, что при больших $n$
$\ln{\Gamma (n)} \gg n$, но $\ln{\ln{\Gamma (n)}}=\ln{n}$. Нет, я не понимаю.

[ИСН]

$\ln\Gamma(n)$ - это очень сложно, почти за пределами человеческого понимания. Для начала рассмотрите вместо неё прозаический $n^2$.

[Padawan]

Legioner93
Я раскрою Вам страшную тайну: $\ln\Gamma(n)\approx n\ln n$ при $n\to\infty$

[Legioner93]

Padawan Для это действительно была тайна:) Теперь вроде понятно.

ИСН А как я должен его рассмотреть?

[lel0lel]

Полагаю так же как и $\ln{\Gamma (n)} \gg n$ при $n\to\infty$. Ведь $n^2 \gg n$ при $n\to\infty$

[Legioner93]

Нет, там то все ясно было с самого начала:) $n^2 \gg n$, $2 \cdot \ln{n} > \ln{n}$
Моя ошибка была в том, что из равенства выражений под логарифмом я делал о вывод о равенстве самих выражений, что неверно в предельном случае, как вы уже показали.