2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Два предела с гамма-функцией
Сообщение28.05.2010, 14:24 
Аватара пользователя
Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, вычисление двух пределов.
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln{\Gamma (n)}}{n}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\psi (n)=\infty$
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln{\ln{\Gamma (n)}}}{\ln{n}}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\psi (n)}{\ln{\Gamma (n)}}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\ln{n}}{\ln{\Gamma (n)}}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\ln{n}}{\psi (n)}=$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\ln{n}}{\ln{n}}=1$
В обоих пределах я пользовался правилом Лопиталя.
В каком ошибка? Ведь не могут же быть они верны одновременно? Спасибо.

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 14:35 
Почему не могут?? Вполне могут.

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 14:38 
В первой строчке описка - должно , видимо, быть $\lim\limits_{n\to\infty}\psi(n)$. Исправьте.

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 14:45 
Аватара пользователя
Исправил, спасибо.
lel0lel
Но тогда получается, что при больших $n$
$\ln{\Gamma (n)} \gg n$, но $\ln{\ln{\Gamma (n)}}=\ln{n}$. Нет, я не понимаю.

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 14:48 
Аватара пользователя
$\ln\Gamma(n)$ - это очень сложно, почти за пределами человеческого понимания. Для начала рассмотрите вместо неё прозаический $n^2$.

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 14:49 
Legioner93
Я раскрою Вам страшную тайну: $\ln\Gamma(n)\approx n\ln n$ при $n\to\infty$

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 15:00 
Аватара пользователя
Padawan Для это действительно была тайна:) Теперь вроде понятно.

ИСН А как я должен его рассмотреть?

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 15:06 
Полагаю так же как и $\ln{\Gamma (n)} \gg n$ при $n\to\infty$. Ведь $n^2 \gg n$ при $n\to\infty$

 
 
 
 Re: Два предела
Сообщение28.05.2010, 15:16 
Аватара пользователя
Нет, там то все ясно было с самого начала:) $n^2 \gg n$, $2 \cdot \ln{n} > \ln{n}$
Моя ошибка была в том, что из равенства выражений под логарифмом я делал о вывод о равенстве самих выражений, что неверно в предельном случае, как вы уже показали.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group