Непонятное неравенство (вложенные банаховы пространства)

[CowboyHugges]

Есть следующая лемма: есть три банаховых пространства $X_0\subset X\subset X_1$, оба вложения непрерывны - первое к тому же компактно. Тогда для любого $\eta>0$ найдется такой $N(\eta)$, что для любого $u\in X_0$ будет выполнено:

$$\|u\|_X\leq\eta\|u\|_{X_0}+N(\eta)\|u\|_{X_1}$$

С этой леммой все понятно, но потом из этого неравенства получается (причем везде написано, что это очевидно), что то же неравенство выполнено для пространств $L^p(0,T;X_i)$ то есть :

$$\|f(t)\|_{L^p(0,T;X_0)}\leq\eta\|f(t)\|_{L^p(0,T;X)}+N(\eta)\|f(t)\|_{L^p(0,T;X_1)}$$

Как это получается, я понять не могу. Как-то тупо возвести в степень - проинтегрировать, не выходит.

[RIP]

неравенство Минковского вроде бы должно помочь, не?

[CowboyHugges]

RIP, да, точно, спасибо, про него я что-то совсем забыл :)