производная Фреше.

[gris]

Затеяли тут разговор, а я чего-то туплю к ночи. Определён оператор

$I:C^n[t_0;t_1]\mapsto C[t_0;t_1]$
таким вот образом.

$I(x(\cdot))(t)=f(t;x(t)); t\in [t_0;t_1]$

Надо ответить, будет ли производная или дифференциал Фреше в некоторой точке отображением и откуда куда.
Я так думаю, что дифференциал Фреше в некоторой точке будет линейным оператором, отображающим $C^n[t_0;t_1]\mapsto C[t_0;t_1]$

И вот чего-то не могу написать его форму

типа $[I'(x(\cdot))]h(\cdot)$

[Padawan]

$(I'x)h=\dfrac{\partial f(t,x(t))}{\partial x}\cdot h$

[alal]

а $f(t,x):R*R^n \longmapsto R $
т.е. получается, что производная задается вектором частн. производных, диф-л числом.
значит $ I^`(x(.)): R^n \longmapsto R $

так? я правильно понимаю?

[gris]

А вот как бы на конкретном примере.
Я чего-то не пойму, как использовать $n$.
Что такое $C^n$? Непрерывные функции на n-мерном параллелепипеде или n-мерный вектор из непрерывных функций на отрезке?

Ну допустим, что
$I:C^3[t_0;t_1]\mapsto C[0;1]$

$x(\cdot)(t)=(x_1;x_2,x_3) =(1;t;t^2)$

$I(x(\cdot))(t)=x_1+x_2^2 - 3x_3+\sin t=1+t^2-3t^2+\sin t=1-2t^2+\sin t$

То я пишу или нет? Совсем плох стал.

alal, при чём здесь $R^n$? Или при чём?

И как теперь написать дифференциал?

[Padawan]

gris
Ой, я подумал, что $C^n$ - это $n$-раз непрерывно дифференцируемые функции. Но даже и так, всё равно моя формула правильная, только её в векторном виде надо понимать:

$$ I'(x)h=\dfrac{\partial f(t,x(t))}{\partial x_1}\cdot h_1+\ldots +\dfrac{\partial f(t,x(t))}{\partial x_n}\cdot h_n} $$

В Вашем примере
$I'(x)h=h_1+2x_2\cdot h_2-3h_3=h_1+2th_2-3h_3$

[alal]

gris в сообщении #324662 писал(а):

То я пишу или нет? Совсем плох стал.
alal, при чём здесь $R^n$? Или при чём?

Да, мне тоже уже. Всяих книжек по этому поводу в интернете просмотрела.

x \in$R^n$, я думаю, что мы берем элемент из этого пространства, поэтому его нужно первым написать

[gris]

alal, Вы сами продолжайте, а я тока завтра! У мну даже комп уже не выдерживает.
Помогите, плиз!!!

[alal]

gris, я вам очень благодарна!
Доброй ночи!)

Все-таки, я правильно думаю.. или нет?