Aut(Z) isomorphic to Z/2Z

[sasha_vertreter]

мда... туплю страшно

Хорхе в сообщении #324118 писал(а):

какой элемент может перейти в единицу?

минус единица (если $\phi(a) = -a$) и единица (если $\phi(a)=a$)?

извините, я наверно не понимаю вопрос...

[Хорхе]

Забудьте про $\phi(a) = -a$ и $\phi(a)=a$. Мы доказываем, что других автоморфизмов нет. То есть взяли мы произвольных автоморфизм $\mathbb Z$. Какой элемент переходит в единицу? Конечно, "1 или -1" -- правильный ответ, но почему?

[sasha_vertreter]

Хорхе в сообщении #324154 писал(а):

Какой элемент переходит в единицу? Конечно, "1 или -1" -- правильный ответ, но почему?

Xopxe - спасибо Вам за терпение =) мне действительно нужно разобраться с этим со всем!

а если я скажу "единчный элемент", какой бы мы не взяли автоморфизм, он должен посылать 1 в 1 потому, что 1 -образующий элемент группы ( а значит и -1 в -1)?

[Хорхе]

Можно и так сказать. Я бы сказал так: Если $1=\varphi(n)=\varphi(1)+\dots+\varphi(1) = n\varphi(1)$, то $\varphi(1)=1/n$, откуда $n=\pm 1$.

[Профессор Снэйп]

Sonic86 в сообщении #323655 писал(а):

Я что-то может не совсем понимаю, но видимо имеются ввиду автоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ и тогда можно просто по определению взять и вычислить $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ и потом показать, что она изоморфна $\mathbb{Z}_2$.

Думаю, что не кольца, а абелевой группы. Кольцо $\mathbb{Z}$ --- структура жёсткая.

[sasha_vertreter]

Xopxe - спасибо огромное!
А можно я в заключение задам в этой связи вопрос про критерий сюрьъективности для группового гомоморфизма:

мы говорим, что гомоморфизм $\varphi:G \rightarrow H$ сюръективен, если
$\forall h \in H \mbox{ }\exists g \in G \mid h=\varphi(g)$ или по-другому: $Im(\varphi)=H$.

Верно ли тогда такое рассуждение:
если $ker(\varphi)=\left\{e\right\}$, то $G/ker(\varphi)=G$ и по (первой) теореме о Гомоморфизмах $Im(\varphi) \cong G/ker(\varphi)=G$, а значит множества $Im(\varphi)$ и $G$ равномощны и следовательно $\varphi$ сюрьъективен. ?

[Sonic86]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп писал(а):

Sonic86 писал(а):

Я что-то может не совсем понимаю, но видимо имеются ввиду автоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ и тогда можно просто по определению взять и вычислить $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ и потом показать, что она изоморфна $\mathbb{Z}_2$.

Думаю, что не кольца, а абелевой группы. Кольцо $\mathbb{Z}$ --- структура жёсткая.

Я уже покаялся

Sonic86 писал(а):

да, затупил, прошу прощенья

[Хорхе]

sasha_vertreter в сообщении #324275 писал(а):

Верно ли тогда такое рассуждение[...]

Вообще говоря, нет, конечно. Не всякий мономорфизм является эпиморфизмом, даже не пытайтесь доказывать. Это рассуждение верно лишь при условии $|H|\le|G|<\infty$ (и в таком случае, как следствие, $H$ изоморфна $G$).

[sasha_vertreter]

Спасибо! Если можно еще, пожалуйста:

Хорхе в сообщении #324300 писал(а):

Вообще говоря, нет, конечно. Не всякий мономорфизм является эпиморфизмом, даже не пытайтесь доказывать.

Я утром об этом тоже подумал, ведь иначе получилось бы, что критерием сюръективности является всего лишь $ker(\varphi)=\left\{e\right\}$. А Вы не могли бы подсказать, где в моем рассуждение слабое место? (т.е. я понимаю теперь, что оно верно не всегда, но, увы, не могу увидеть где именно не так, там где я $\cong$ подменяю посути равенством?

Хорхе в сообщении #324300 писал(а):

Это рассуждение верно лишь при условии $|H|\le|G|<\infty$

А значит, если $H=G$ и $G$ конечно, то тогда верно? (мне на самом деле именно это надо было понять).

Хорхе в сообщении #324300 писал(а):

(и в таком случае, как следствие, $H$ изоморфна $G$).

Это потому, что условие $\mbox{ker}\varphi=\left\{e\right\}$ означает инъективность, или это следует прямо из моего рассуждения?

Спасибо большое!

[Хорхе]

sasha_vertreter в сообщении #324322 писал(а):

Спасибо! Если можно еще, пожалуйста:Я утром об этом тоже подумал, ведь иначе получилось бы, что критерием сюръективности является всего лишь $ker(\varphi)=\left\{e\right\}$. А Вы не могли бы подсказать, где в моем рассуждение слабое место?

Вот тут

Цитата:

множества $G$ и $G/\mathrm{ker}(\varphi)$ равномощны и, следовательно, $\varphi$ сюръективно

Второе никак не следует из первого. Если заменить в этой фразе $G$ на $H$ (желательно также поменять $G/\mathrm{ker}(\varphi)$ на $\mathrm{im}(\varphi)$; хоть это и то же самое, но во фразе станет больше логики), то при условии конечности она будет правильна.

Цитата:

А значит, если $H=G$ и $G$ конечно, то тогда верно? (мне на самом деле именно это надо было понять).

Да.

Цитата:

Это потому, что условие $\mbox{ker}\varphi=\left\{e\right\}$ означает инъективность[...]?

Да. (Ну и то, что $\varphi$ -- гомоморфизм, тоже, несомненно, надо использовать.)

[sasha_vertreter]

Спасибо просто очень-очень большое! =)