2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение26.05.2010, 16:11 
Аватара пользователя
мда... туплю страшно

Хорхе в сообщении #324118 писал(а):
какой элемент может перейти в единицу?


минус единица (если $\phi(a) = -a$) и единица (если $\phi(a)=a$)?

извините, я наверно не понимаю вопрос...

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение26.05.2010, 18:08 
Аватара пользователя
Забудьте про $\phi(a) = -a$ и $\phi(a)=a$. Мы доказываем, что других автоморфизмов нет. То есть взяли мы произвольных автоморфизм $\mathbb Z$. Какой элемент переходит в единицу? Конечно, "1 или -1" -- правильный ответ, но почему?

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение26.05.2010, 19:10 
Аватара пользователя
Хорхе в сообщении #324154 писал(а):
Какой элемент переходит в единицу? Конечно, "1 или -1" -- правильный ответ, но почему?

Xopxe - спасибо Вам за терпение =) мне действительно нужно разобраться с этим со всем!

а если я скажу "единчный элемент", какой бы мы не взяли автоморфизм, он должен посылать 1 в 1 потому, что 1 -образующий элемент группы ( а значит и -1 в -1)?

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение26.05.2010, 21:53 
Аватара пользователя
Можно и так сказать. Я бы сказал так: Если $1=\varphi(n)=\varphi(1)+\dots+\varphi(1) = n\varphi(1)$, то $\varphi(1)=1/n$, откуда $n=\pm 1$.

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение27.05.2010, 02:21 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #323655 писал(а):
Я что-то может не совсем понимаю, но видимо имеются ввиду автоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ и тогда можно просто по определению взять и вычислить $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ и потом показать, что она изоморфна $\mathbb{Z}_2$.

Думаю, что не кольца, а абелевой группы. Кольцо $\mathbb{Z}$ --- структура жёсткая.

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение27.05.2010, 02:22 
Аватара пользователя
Xopxe - спасибо огромное!
А можно я в заключение задам в этой связи вопрос про критерий сюрьъективности для группового гомоморфизма:

мы говорим, что гомоморфизм $\varphi:G \rightarrow H$ сюръективен, если
$\forall h \in H \mbox{ }\exists g \in G \mid h=\varphi(g)$ или по-другому: $Im(\varphi)=H$.

Верно ли тогда такое рассуждение:
если $ker(\varphi)=\left\{e\right\}$, то $G/ker(\varphi)=G$ и по (первой) теореме о Гомоморфизмах $Im(\varphi) \cong G/ker(\varphi)=G$, а значит множества $Im(\varphi)$ и $G$ равномощны и следовательно $\varphi$ сюрьъективен. ?

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение27.05.2010, 06:38 

(Оффтоп)

Профессор Снэйп писал(а):
Sonic86 писал(а):
Я что-то может не совсем понимаю, но видимо имеются ввиду автоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ и тогда можно просто по определению взять и вычислить $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ и потом показать, что она изоморфна $\mathbb{Z}_2$.

Думаю, что не кольца, а абелевой группы. Кольцо $\mathbb{Z}$ --- структура жёсткая.

Я уже покаялся :-)
Sonic86 писал(а):
да, затупил, прошу прощенья :-(

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение27.05.2010, 08:07 
Аватара пользователя
sasha_vertreter в сообщении #324275 писал(а):
Верно ли тогда такое рассуждение[...]

Вообще говоря, нет, конечно. Не всякий мономорфизм является эпиморфизмом, даже не пытайтесь доказывать. Это рассуждение верно лишь при условии $|H|\le|G|<\infty$ (и в таком случае, как следствие, $H$ изоморфна $G$).

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение27.05.2010, 09:20 
Аватара пользователя
Спасибо! Если можно еще, пожалуйста:
Хорхе в сообщении #324300 писал(а):
Вообще говоря, нет, конечно. Не всякий мономорфизм является эпиморфизмом, даже не пытайтесь доказывать.
Я утром об этом тоже подумал, ведь иначе получилось бы, что критерием сюръективности является всего лишь $ker(\varphi)=\left\{e\right\}$. А Вы не могли бы подсказать, где в моем рассуждение слабое место? (т.е. я понимаю теперь, что оно верно не всегда, но, увы, не могу увидеть где именно не так, там где я $\cong$ подменяю посути равенством?
Хорхе в сообщении #324300 писал(а):
Это рассуждение верно лишь при условии $|H|\le|G|<\infty$
А значит, если $H=G$ и $G$ конечно, то тогда верно? (мне на самом деле именно это надо было понять).
Хорхе в сообщении #324300 писал(а):
(и в таком случае, как следствие, $H$ изоморфна $G$).
Это потому, что условие $\mbox{ker}\varphi=\left\{e\right\}$ означает инъективность, или это следует прямо из моего рассуждения?

Спасибо большое!

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение27.05.2010, 12:13 
Аватара пользователя
sasha_vertreter в сообщении #324322 писал(а):
Спасибо! Если можно еще, пожалуйста:Я утром об этом тоже подумал, ведь иначе получилось бы, что критерием сюръективности является всего лишь $ker(\varphi)=\left\{e\right\}$. А Вы не могли бы подсказать, где в моем рассуждение слабое место?

Вот тут
Цитата:
множества $G$ и $G/\mathrm{ker}(\varphi)$ равномощны и, следовательно, $\varphi$ сюръективно

Второе никак не следует из первого. Если заменить в этой фразе $G$ на $H$ (желательно также поменять $G/\mathrm{ker}(\varphi)$ на $\mathrm{im}(\varphi)$; хоть это и то же самое, но во фразе станет больше логики), то при условии конечности она будет правильна.
Цитата:
А значит, если $H=G$ и $G$ конечно, то тогда верно? (мне на самом деле именно это надо было понять).

Да.
Цитата:
Это потому, что условие $\mbox{ker}\varphi=\left\{e\right\}$ означает инъективность[...]?

Да. (Ну и то, что $\varphi$ -- гомоморфизм, тоже, несомненно, надо использовать.)

 
 
 
 Re: Aut(Z) isomorphic to Z/2Z
Сообщение27.05.2010, 12:52 
Аватара пользователя
Спасибо просто очень-очень большое! =)

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group