Aut(Z) isomorphic to Z/2Z

[sasha_vertreter]

Добрый день!

Мне нужно доказать Aut$(\mathbb Z) \cong \mathbb Z_2$.

Мне кажется я знаю как это сделать, однако я хотел бы проверить только верно ли, что функция $\tau$ такая, что

- для $\phi_1 \in Aut(\mathbb Z) $, такой, что $\phi(k)=k=1_{\mathbb Z}$; $k \in \mathbb Z$ - положим $\tau(\phi)=[0]\in \mathbb Z_2$.

- для $\phi_2 \in Aut(\mathbb Z) $, такой, что $\phi(k)=k'$; $k, k' \in Z$, $k' \neq k$ положим$\tau(\phi)=[1]\in \mathbb Z_2$

- есть гомоморфизм $Aut(\mathbb Z) \rightarrow \mathbb Z_2 $?

(Я просто думаю, что доказал, что $\tau(\phi_1\circ\phi_2)=\tau(\phi_1)+\tau(\phi_2)$ и аналогично для композиции в другую сторону).

Спасибо!

[Sonic86]

Я что-то может не совсем понимаю, но видимо имеются ввиду автоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ и тогда можно просто по определению взять и вычислить $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ и потом показать, что она изоморфна $\mathbb{Z}_2$.

[paha]

Вы выбрали не самый легкий путь)))

sasha_vertreter в сообщении #323609 писал(а):

и аналогично для композиции в другую сторону

достаточно доказать, что Ваше $\tau$ инъективно

[Хорхе]

Sonic86 в сообщении #323655 писал(а):

Я что-то может не совсем понимаю, но видимо имеются ввиду автоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ и тогда можно просто по определению взять и вычислить $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ и потом показать, что она изоморфна $\mathbb{Z}_2$.

Интересно, как Вы будете доказывать изоморфизм чего-то одноэлементного и двухэлементного.

Имеются в виду, очевидно, автоморфизмы аддитивной группы $\mathbb Z$. Их два (и, кстати, можно выписать все оба). Вы много знаете (неизоморфных) групп из двух элементов?

[Sonic86]

Хорхе писал(а):

Интересно, как Вы будете доказывать изоморфизм чего-то одноэлементного и двухэлементного.

Имеются в виду, очевидно, автоморфизмы аддитивной группы $\mathbb{Z}$.

да, затупил, прошу прощенья

[sasha_vertreter]

Хорхе в сообщении #323666 писал(а):

Имеются в виду, очевидно, автоморфизмы аддитивной группы . Их два (и, кстати, можно выписать все оба). Вы много знаете (неизоморфных) групп из двух элементов?

- да, да именно - автоморфизмы аддитивной группы.
- т.е. автоморфизмы я записал неверно, т.е. $1_\mathbb Z$ - единица, а что же второй элемент?
- я знаю лишь циклическую группу C$_2$...

[Хорхе]

sasha_vertreter в сообщении #323672 писал(а):

- я знаю лишь циклическую группу C$_2$...

Она же $\mathbb Z_2$. Других нет. Так что достаточно доказать, что у Вас два автоморфизма.

sasha_vertreter в сообщении #323672 писал(а):

- т.е. автоморфизмы я записал неверно, т.е. $1_\mathbb Z$ - единица, а что же второй элемент?

Подумайте. В группе $\mathbb Z$ ровно два элемента, которые ее порождают: единица и ...

[sasha_vertreter]

и -1 ?

[sasha_vertreter]

sasha_vertreter в сообщении #323609 писал(а):

функция $\tau$ такая, что

- для $\phi_1 \in Aut(\mathbb Z) $, такой, что $\phi(k)=k=1_{\mathbb Z}$; $k \in \mathbb Z$ - положим $\tau(\phi)=[0]\in \mathbb Z_2$.

- для $\phi_2 \in Aut(\mathbb Z) $, такой, что $\phi(k)=k'$; $k, k' \in Z$, $k' \neq k$ положим$\tau(\phi)=[1]\in \mathbb Z_2$

и тогда это можно переделать как:
- для $\phi_1 \in Aut(\mathbb Z) $, такой, что $\phi(k)=k=1_{\mathbb Z}$; $k \in \mathbb Z$ - положим $\tau(\phi)=[0]\in \mathbb Z_2$.

- для $\phi_2 \in Aut(\mathbb Z) $, такой, что $\phi(k)=-k$; $k \in Z$ положим$\tau(\phi)=[1]\in \mathbb Z_2$

верно?

[Хорхе]

Верно. Осталось доказать, что других автоморфизмов у $\mathbb Z$ нет. (Можно еще доказать, что $\tau$ -- изоморфизм; впрочем, это очевидно.)

[sasha_vertreter]

Хорхе в сообщении #323723 писал(а):

Осталось доказать, что других автоморфизмов у нет

спасибо! я подумаю об этом тоже.

[sasha_vertreter]

Хорхе в сообщении #323723 писал(а):

Осталось доказать, что других автоморфизмов у нет

я вот думал, думал как к этому можно подступиться...

например $\tau(a)=3a$ не аутоморфизм, потому что не сюръективный (и даже не гомоморфизм), т.е. легко доказать, что данная функция аутоморфизм, или не аутоморфизм (проверяя выполняются ли условия), но вот как доказывается, что из всех функций из $\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z$ только 2 указанные обладают свойствами изоморфизма я не вижу... может поддтолкнете немного?

[Хорхе]

Да Вы уже сами себя подтолкнули. Ключевое слово тут -- сюръективность. Что переходит в единицу?

[sasha_vertreter]

Хорхе в сообщении #324053 писал(а):

Да Вы уже сами себя подтолкнули. Ключевое слово тут -- сюръективность. Что переходит в единицу?

1 и -1 ?

опять же множество ${1,-1}$составляет ядро найденных гомоморфизмов

потом гомоморфизм сюръективен, если его образ совпадает со всем множеством...

или вот по такой схеме, например: любой сюрьективный гомоморфизм должен <...>,и поэтому только, найденные выше гомоморфизмы - сюръективны.

а вот, что <...>?... увы - все равно не вижу =(

а еще если, например группа $\mathbb Z/Im(\varphi)$ тривиальна, то гомоморфизм сюръективен...

[Хорхе]

Надеюсь, Вы понимаете, что Вы написали. Я нет. Но неважно. Повторю вопрос -- какой элемент может перейти в единицу?