Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

[r-aax]

tapos в сообщении #323424 писал(а):

$b^n + a^n = c^n$ откуда следует $b^n = c^n - a^n$
Если $a^n$ является наибольшей величиной, то $c^n - a^n$ является наименьшей величиной независимо от того изменяется или не изменяется по величине число c и, следовательно $b^n$ является наименьшей величиной в силу равенства $b^n = c^n - a^n$
Откуда следует, что и число b является наименьшей величиной в силу однозначности извлечения корня для натуральных чисел.
Поскольку для определенности мы положили b < a < c, то первым мы искали наименьшее значение числа b. Оказалось, что число b принимает наименьшее значение при c - a = 1.

Неверно.
Для поиска наибольшего числа $a$ Вы используете только условия $0 < a < c, \ a \in \mathbb{N}$. Но для него также должно выполняться условие $\sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N}$.

[tapos]

Уважаемый господин r-aax
Мы ведем научную дискуссию. Поэтому необходимо придерживаться общепринятых правил ведения научной дискуссии. Из всего, что Вы сказали, я, по правде говоря, ничего не понял. Как мне кажется, Вы одну и ту же сущность называете разными словами и на этом основании заявляете, что я в чем-то неправ. Пожалуйста, изложите как можно подробнее Ваши претензии и, главное, не забудьте про обоснование Ваших претензий. Вы же заявляете о неправильности, а в чем состоит эта самая неправильность ничего не говорите. В научной дискуссии так не поступают.
По состоянию на сегодняшний день у Вас претензий по содержанию статьи нет. Поэтому Ваше заявление о том, что имеются неправильное обоснование в статье, я отвергаю, как не обоснованное.

[r-aax]

tapos в сообщении #323806 писал(а):

Из всего, что Вы сказали, я, по правде говоря, ничего не понял.

Последнее мое сообщение состоит из одной строки.
Претензия и вопрос вполне конкретные: почему Вы при выборе $a$ игнорируете условие $\sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N}$?

[tapos]

1.Уважаемый господин r-aax
Из условия, что $b^n = c^n - a^n$ при натуральных a, b, c следует, что из обеих частей равенства можно извлечь корень n – й степени. Поскольку после извлечения корня n – й степени в левой части равенства получается натуральное число b, то корень n – й степени из правой части равенства также извлекается и равен натуральному числу b. Поэтому Ваше требование о вычислении корней n – й степени из правой части является излишним в силу того, что оно всегда соблюдается при условии соблюдения равенства левой и правой частей уравнения.
Конечно, можно рассаматривать выражение $c^n - a^n$ и искать такие числа c и a, чтобы из разности $c^n - a^n$ извлекался корень n – й степени. Именно это, судя по всему, Вы и хотели бы, видеть. А можно доказать, что $b^n = c^n - a^n$ и получить тот же самый результат. Каждый волен использовать любой из этих подходов, но результат будет одним и тем же.
2.Уважаемый господин venco
В теории вероятностей используется понятие зависимой и независимой случайной величины, что влечет различные способы вычисления вероятностей.
В линейной алгебре также используется понятие независимости векторов или их линейной зависимости, что влечет различные способы вычисления, например, косинуса угла между векторами.
Мы рассматриваем натуральный ряд чисел и я, по правде говоря, никогда ничего не слышал о зависимости или независимости натуральных чисел.
Поэтому либо изложите подробно этот вопрос, либо признайте, что попытались применить к натуральному ряду не присущее ему свойство.

[venco]

tapos в сообщении #324115 писал(а):

1.Уважаемый господин r-aax
Из условия, что $b^n = c^n - a^n$ при натуральных a, b, c следует, что из обеих частей равенства можно извлечь корень n – й степени. Поскольку после извлечения корня n – й степени в левой части равенства получается натуральное число b, то корень n – й степени из правой части равенства также извлекается и равен натуральному числу b. Поэтому Ваше требование о вычислении корней n – й степени из правой части является излишним в силу того, что оно всегда соблюдается при условии соблюдения равенства левой и правой частей уравнения.

Так вот это условие соблюдения равенства левой и правой частей уравнения и не позволяет в качестве $b$ брать любое натуральное число. В частности, при $b=c-2$ (ваше "минимальное" решение), вышеприведённое условие не выполняется.

tapos в сообщении #324115 писал(а):

2.Уважаемый господин venco
...
Поэтому либо изложите подробно этот вопрос, либо признайте, что попытались применить к натуральному ряду не присущее ему свойство.

Честно говоря, у меня нет желания излагать подробнее, т.к. затраченные усилия не дают никакого результата.

[r-aax]

tapos в сообщении #324115 писал(а):

Из условия, что $b^n = c^n - a^n$ при натуральных a, b, c следует, что из обеих частей равенства можно извлечь корень n – й степени. Поскольку после извлечения корня n – й степени в левой части равенства получается натуральное число b, то корень n – й степени из правой части равенства также извлекается и равен натуральному числу b. Поэтому Ваше требование о вычислении корней n – й степени из правой части является излишним в силу того, что оно всегда соблюдается при условии соблюдения равенства левой и правой частей уравнения.

То есть Вы предполагаете, что при заданном $c$ выполняется требование $\sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N}$ для любого $a$ такого, что $0 < a < c$?

-- Ср май 26, 2010 21:56:28 --

(Оффтоп)

tapos в сообщении #324115 писал(а):

В линейной алгебре также используется понятие независимости векторов или их линейной зависимости, что влечет различные способы вычисления, например, косинуса угла между векторами.

И что же это за способы вычисления косинуса угла между векторами? )

[tapos]

1.Уважаемый господин venco
Вынужден Вас огорчить. Условие c - a = 1 и c - b = 2 как ни странно соблюдается, более того имеется решение b = 3, a = 4, c = 5, n = 2
$3^2 + 4^2 = 5^2$
Разумеется и корни извлекаются: $3^2 = 5^2 - 4^2 = 9 = 3^2$
$4^2 = 5^2 - 3^2 = 16 = 4^2$
На этот вопрос я отвечаю не первый раз. Прежде чем задавать вопрос необходимо посмотреть ответы, тем более вопросов не так уж и много.
Что касается независимости чисел. Обсуждаемая тема называется: Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах. Мы рассматриваем натуральный ряд чисел 1, 2, ... и ищем такие свойства натуральных чисел, которые бы позволили найти наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах. Числа натурального ряда не обладают свойством зависимости друг от друга и свойством независимости друг от друга. Поэтому доказывать независимость чисел a, b, c нет необходимости в силу отсутствия у них свойства независимости. В этом смысле Ваш вопрос некорректен и отвергается как не обоснованный.
2.Уважаемый господин r-aax
Я ответил на Ваш вопрос, а Вы, который оперировал исключительно термином "неверно", при этом не утруждая себя никакими объяснениями, получив ответ, даже не подумали соблюдать правила ведения научной дискуссии. Я решил некоторое время с Вами не общаться, тем более серьезных вопросов от Вас не поступало.

[shwedka]

После долгих сомнений решила я взяться за эту тему. Уж слишком долго она безбедно существует.

Я буду опираться на текст, на который ниже дана ссылка и задавать по одному вопросы, с цитатами.

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Мы попрубуем разыскать наименьшие решения этого уравнения.

Давайте ограничимся, как и требуют правила, случаем степени 3.
то есть решение - это тройка чисел. Объясните, пожалуйста, как Вы эти тройки упорядочиваете-- мне и всем другим понятно, что означает, что одно число меньше другого, но что значит, что одна тройка меньше другой? Такое определение у Вас отсутствует. Если я ошибаюсь, Вы, со свойственной Вам обстоятельностью, процитируете место, где такое определение дано.

[r-aax]

tapos в сообщении #325487 писал(а):

2.Уважаемый господин r-aax
Я ответил на Ваш вопрос, а Вы, который оперировал исключительно термином "неверно", при этом не утруждая себя никакими объяснениями, получив ответ, даже не подумали соблюдать правила ведения научной дискуссии. Я решил некоторое время с Вами не общаться, тем более серьезных вопросов от Вас не поступало.

Как я понял, ответа на вопрос

r-aax в сообщении #324198 писал(а):

То есть Вы предполагаете, что при заданном $c$ выполняется требование $\sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N}$ для любого $a$ такого, что $0 < a < c$?

не будет?

[shwedka]

r-aax
Потерпите, ответит.

[tapos]

1.Для swedka
Что такое наименьшее решение подробно изложено мною на странице 1 этой темы
2.Для r-axx
Числа a, b, c являются натуральными, удовлетворяющими уравнению $b^n + a^n = c^n$. Вся работа именно этому и посвящена: поиску конкретных значений a, b, c, n при которых соблюдается равенство $b^n + a^n = c^n$ для натуральных чисел.
3.Для age
Если c > a, то обе части неравенства можно возводить в одну и ту же степень и неравенство будет выполняться:
$c > a$
$c^2 > a^2$
……
$c^n > a^n$
Вместо знака больше можно поставить знак меньше или знак равенства. Результат будет тот же: соотношение между числами и их степенями сохраняется.
Что будет, если будем возводить обе части неравенства в различные степени? Например, левую часть неравенства возведем в степень 2, а правую часть неравенства возведем в степень 5.
$c > a$
$c^2 > a^2$
Далее необходимо левую часть оставить без изменения, а правую часть возвести в 3, 4 и 5 степень. Поскольку правая часть увеличивается, а левая часть остается без изменения, то неравенство может не соблюдаться.
Если $c > a$, то $c^n > a^n$ и $c^n - a^n > 0$. И, наоборот, если $c^n - a^n > 0$, то $c^n > a^n$ и $c > a$. Откуда следует, что наибольшее значение числа a, при котором выполняется это неравенство равно a = c - 1 или c - a = 1. Это следствие условия о натуральности чисел a и c.
Если $c^2 > a^5$, то $c > a^{5/2}$, то не только c > a, но и c > a + 1, c > a + 2, …, c > a + t. Где число a + t равно целой части от корня $a^{5/2}$. Поэтому у нас нет никаких оснований утверждать, что наибольшее значение числа a, при котором $c > a^{5/2}$ равно только a = c - 1.
Рассмотрим теперь уравнение $b^n + a^n + p^n = c^n$.
Пусть b < a < p < c
Попробуем найти наименьшее решение для числа b.
$b^n + a^n = c^n - p^n$
Откуда наименьшее значение сумма $b^n + a^n$ достигает при p = c - 1. Но перейти от суммы $b^n + a^n$ к значениям b и a нет никакой возможности. Аналогично обстоит дело при количестве слагаемых в левой части уравнения Ферма 4, 5 и т.д.
Уравнение Ферма $b^n + a^n = c^n$ насчитывает в левой части всего два слагаемых. Поэтому существует причинно-следственная цепочка: $c^n - a^n$ достигает наименьшей величины при a = c - 1 и, следовательно, $b^n$ достигает наименьшей величины при a = c - 1. Откуда следует, что не только $b^n$ достигает наименьшей величины, но и число b достигает наименьшей величины в следствие натуральности числа b.
Построить такую же цепочку причинно-следственных умозаключений при количестве слагаемых в левой части уравнения Ферма большим 2 невозможно. Разумеется, это вовсе не означает, что в случае наличия количества слагаемых в левой части уравнения Ферма больше 2, наименьшее решение не может быть равно последовательности соседних натуральных чисел. Но однозначности нет.
4.Для lel0lel
Вы утверждаете, что полученный нами результат давно известен и опубликован. Позвольте привести аргументы, противоречащие Вашему утверждению. Мы полагаем, что представленное нами доказательство могло быть известно Ферма по следующим основаниям.
Книгой, вдохновившей Ферма на изучение теории чисел, была «Арифметика» Диофанта. На полях этой книги Ферма сделал 48 замечаний. Второе из этих замечаний было написано на полях вслед за задачей 8 из Книги II. В этой задаче требуется «данное число, которое является квадратом, записать в виде суммы двух других квадратов». Написанная на латинском языке заметка Ферма утверждает, что «с другой стороны, невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвертую степень - в виде суммы двух четвертых степеней, или, вообще, любое число, которое является степенью, большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить» (Г. Эдварс. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Перевод с английского В.Л.Калинина и А.И.Скопина под редакцией Б.Ф.Скубенко. Москва, Издательство «Мир», 1980 г., 484 с.).
Почему Ферма утверждает о наличии поистине удивительного доказательства? Что же может свидетельствовать об удивительности. Во-первых, простота и прозрачность доказательства, чему в полной мере соответствует представленное нами доказательство. Во-вторых, сведение решения уравнения к решению алгебраического уравнения $(n + 1)^n + (n + 2)^n = (n + 3)^n$. Это действительно удивительное уравнение, так как для всех простых n оно дает правильное решение уравнения $b^n + a^n = c^n$. Так, если n = 2, то немедленно получается тройка чисел 3, 4, 5, которая является решением уравнения. Если n = 3, то решений нет. Если n = 5, то решений нет. И, вообще, если n > 2 является простым, то решений нет. Более того, решения уравнения $b^n + a^n = c^n$ не зависят от величины чисел a, b, c. Наличие или отсутствие решений зависит только от показателя степени n. По существу, уравнение $(n +1)^n + (n + 2)^n = (n + 3)^n$ является индикатором наличия или отсутствия решения уравнения $b^n + a^n = c^n$. Разумеется, это не могло не казаться удивительным для Ферма.
Почему же Ферма не опубликовал доказательство? Я думаю, что доказательство не было опубликовано в силу простоты доказательства. Ферма не мог представить себе даже в дурном сне, что такое простое доказательство не будет найдено в течение 360 лет. Вероятно Ферма все время откладывал публикацию, надеясь в любой момент опубликовать. Но как часто бывает в жизни смерть застала врасплох.
В чем же причина такого долгого поиска математиками элементарного решения уравнения Ферма? Я думаю, что причина состоит в использовании всеми или почти всеми математиками идей и методов наиболее авторитетных математиков. А самые авторитетные математики начали искать решения через исследование делимости натуральных чисел. Так, например, доказательство Эйлера для n = 3 основано на исследовании делимости. А когда Куммер разработал теорию идеального разложения на делители и доказал теорему Ферма для всех n < 100, кроме n = 37, 59, 67, то желающих искать другие решения не осталось. Казалось, что чуть-чуть поднажать и окончательное решение будет найдено.
Американский математик Диксон Леонард Юджин (22.01.1874 – 17.01.1954) написал и опубликовал «Историю теории чисел» в 3 томах, в которой прореферировал свыше 300 научных трудов по теореме Ферма. К сожалению, эту книгу разыскать не удалось, но удалось найти полный список наименований глав книг (Б.Делоне). Наименования глав свидетельствуют о попытках доказать теорему Ферма только на основе исследования делимости чисел.
Таким образом, Ваше утверждение, что уравнение $(n + 1)^n + (n + 2)^n = (n + 3)^n$ давно известно и опубликовано, не соответствует действительности. Более того, в таких научных трудах, как:
1.Г. Эдварс. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Перевод с английского В.Л.Калинина и А.И.Скопина под редакцией Б.Ф.Скубенко. Москва, Издательство «Мир», 1980 г., 484 с.
2.М.М.Постников. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1978 г., 128 с.
3.А.Я.Хинчин. Великая Теорема Ферма. Москва, Ленинград, 1934 г., с. 55.
4.Саймон Сингх. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА. История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. МЦМНО, 2000.
и многих других менее авторитетных приводятся все известные и необычные результаты по теореме Ферма, но упоминание об уравнении $(n + 1)^n + (n + 2)^n = (n + 3)^n$ отсутствуют. Хотя не упомянуть об индикаторе наличия решения или отсутствия решения уравнения Ферма невозможно, так как это прямой путь к поиску элементарного доказательства теоремы Ферма.
Так что, скорее всего, обсуждаемая нами статья является оригинальной.

[shwedka]

Вот первые места на странице 1, где упомянуты 'наименьшие решения'

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Мы попрубуем разыскать наименьшие решения этого уравнения. Это означает, что мы будем исследовать метрические свойства чисел (величину чисел и их количественные связи). При этом принимаем без доказательства (в силу его существования) следующие положения:
1.Если уравнение Ферма имеет множество решений в области натуральных чисел, то среди этих решений существует наименьшее решение в силу того, что натуральный ряд имеет наименьшее значение равное единице.

Определение порядка среди решений и определение наименьшего решения я не нашла.
Пожалуйста, процитируйте их.

Поскольку решения - это тройки чисел, то ссылка на классические теоремы, где говорится о существовании наименьшего элемента в множестве натуральных чисел, некорректна. Если Вы знаете теорему о существовании наименьшего элемента в множестве троек натуральных чисел, пожалуйста, процитируйте.

Напоминаю, что по правилам форума ответ в той форме, как Вы дали, недопустим.

3.3. Не допускаются аргументы типа: "Я уже отвечал на этот вопрос, а если вы мой ответ не поняли - это не мое дело". Ответить на вопрос так, чтобы его поняли и приняли, является заботой автора темы. Не допускаются отписки вида: "Перечитайте внимательно мой текст, там есть ответ на ваш вопрос". Если вопрос задан, то это значит, что участник не видит ответа на него. Автор темы обязан либо ответить на вопрос, либо процитировать свой ответ, если полагает, что он уже был дан раньше.

[shwedka]

Задам, пожалуй, еще один вопрос. Ожидаю обстоятельного ответа, в соответствии с правилами.
У вас в тексте много раз встречаются высказывания о наибольшем или наименьшем значении некоторого выражения. Вот первое из таких высказываний

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Наибольшее значение S достигает при увеличении числа b до a, то есть при b = a и составляет

Вы, без сомнения, знаете, что для функции одной или нескольких переменных наибольшее (наименьшее ) значение зависит от того, на каком множестве это значение ищется. Вот, скажем, несложная функция $f(x)=x^2+x$ имеет различные наименьшие значения а) на множестве целых положительных $x$; б) На множестве четных положительных $x$;
в) на множестве $x$, делящихся на 3 и т.д. Я думаю, Вы согласитесь, что утверждать что-то о наименьшем или наибольшем значении некоторого выражения без указания, на каком множестве это значение рассматривается, бессмысленно.
Вы же, за малыми исключениями, это множество не указываете. Как в приведенной цитате, так и во многих других местах.
В связи с этим, прошу Вас указать, какое множество имеется в виду в утверждении

tapos в сообщении #306621 писал(а):

Если предположить, что c^n не изменяется, то разность c^n - a^n достигает наименьшего значения при максимальной величине a^n

Я могу предположить два варианта, Вы можете выбрать один из них либо предложить свой. Но определенность необходимо установить.

Мои предложения
а. на множестве всех натуральных $a<c$
b. на множестве всех натуральных $a<c$ таких, что $(c^n-a^n)^{\frac1n}$- целое число.

Я напоминаю, что на вопрос Вы обязаны ответить по существу.

[r-aax]

Все-таки придется снова приводить свою же цитату, так как ясности я пока не добился. Надеюсь, что модераторы меня за это не забанят. Был вопрос:

r-aax в сообщении #324198 писал(а):

То есть Вы предполагаете, что при заданном $c$ выполняется требование $\sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N}$ для любого $a$ такого, что $0 < a < c$?

На него последовал ответ:

tapos в сообщении #328255 писал(а):

2.Для r-axx
Числа a, b, c являются натуральными, удовлетворяющими уравнению $b^n + a^n = c^n$. Вся работа именно этому и посвящена: поиску конкретных значений a, b, c, n при которых соблюдается равенство $b^n + a^n = c^n$ для натуральных чисел.

После пункта (14) Вашей статьи Вы приводите рассуждения:

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Если предположить, что c^n не изменяется, то разность c^n - a^n достигает наименьшего значения при максимальной величине a^n. Поскольку c и a являются натуральными числами и c > a, то максимальное значение a равно c - 1 или c - a = 1. Следовательно:
(15) c - a = 1

В данных рассуждениях Вы неким образом выбираете число $a$ из натуральных чисел от 1 до $c - 1$, чтобы выполнялось определенное условие. Получается $a = c - 1$. Далее Вы работаете с тройками натуральных чисел $(a = c - 1, \ b, \ c)$ как с решениями исходного уравнения. Я и спрашиваю, что Вам позволяет считать, что тройка натуральных чисел $(a = c - 1, \ b, \ c)$ удовлетворяет уравнению $a^n + b^n = c^n$? В данный момент из Ваших рассуждений я вижу только две альтернативы этому:

1) Это утверждение вытекает из предположения, что при фиксированном $c$ для любого $0<a<c$ верно равенство $a^n + b^n = c^n$ и в частности для $a = c - 1$.
2) Это утверждение вытекает из предположения, что при фиксированном $c$ равенство $a^n + b^n = c^n$ верно хотя бы для $a = c - 1$.

Просьбя по каждому из этих двух пунктов дать ответ на уровне да / нет.
Пока не будет прояснен этот эпизод из Вашей статьи (между пунктами (14) и (15)) дальше двигаться нет смысла.

[tapos]

1.Для swedka
Что такое наименьшее решение подробно изложено мною на странице 1 этой темы в сообщении 12. Вы перепутали номер страницы с номером сообщения. На первой страницы не одно сообщение, а 14. Вы же посмотрели только первое сообщение, а нужно было посмотреть все сообщения на странице 1. Копировать развернутое сообщение сюда нецелесообразно. Легче Вам набраться терпения и найти нужное сообщение, чем загромождать дискуссию повторами.
Обсуждаемая тема называется: Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах. Мы рассматриваем и ищем решения среди натуральных чисел.
2.Для r-axx
Вы все время пытаетесь поставить телегу впереди лошади. Ответ указан в конце статьи. Вы же хотите знать ответ в середине статьи. Наберитесь терпения и дочитайте статью до конца.
3.Для swedka и для r-axx
Анализируя Ваши вопросы, я пришел к выводу, что Вы несколько подзабыли теорию натурального ряда чисел, так как требуете представить доказательства положений из теории натурального ряда чисел. Я бы рад изложить, но объем великоват. Поэтому рекомендую ознакомиться с классическим трудом:
Эдмунд Ландау. Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами. Дополненение к учебникам по дифференциальному и интегральному исчислению. Перевод с немецкого Д.А.Райкова. Москва, Издательство иностранной литературы, 1947 г., стр. 17 – 56.
Книгу можно найти в Интернете. Выложить эту книгу на форуме не позволяют правила.

от модератора GAA:

tapos, Вы многократно отказываетесь отвечать или не отвечаете по существу на вопрос участников, в том числе ЗУ; нарушаете правило оформления первого сообщения дискуссионной темы; некорректно набираете формулы, допускаете многочисленные другие нарушения.
За многочисленные нарушения правил форума, в том числе раздела III.3, Вам, tapos, выносится строгое предупреждение.

До того как вы ответите на вопросы участников в этой теме, Вам запрещается принимать участие в других темах форума. В случае нарушения этого запрета Вы будете заблокированы. В случае продолжения ответов не по существу вопросов Вы будете заблокированы.