Почти рациональные числа

[бобыль]

Подскажите, пожалуйста, рассматривал ли кто-нибудь "почти рациональные числа" (или "почти периодические дроби")? Ввести их можно было бы одним из следующих способов:

(1) по аналогии с почти периодическими функциями или сведением к ним;

(2) выделить конкретный класс иррациональностей, скажем квадратичных (разложимых в периодическую цепную дробь), в качестве подходящего;

(3) определить "степень рациональности" и работать с нею.

Что еще?

[бобыль]

Есть еще одна возможность, возникающая из практических соображений и мне более интересная:

(4) рассмотреть числа вроде постоянной Эйлера, (ир)рациональность которых неизвестна,

с целью как-то использовать связанную с ними неопределенность...

Возьмем для примера число $x = {\sqrt 2}^{\sqrt 2}$. Спрашивается, рационально оно или нет? Если рационально - значит, это тот случай, когда иррациональная степень иррационального числа рациональна. Если же оно иррационально, то возьмем это число $x$ и $\sqrt 2$, и тогда $x^{\sqrt 2} = 2$, т.е. снова степень рациональна. В итоге мы доказали, что иррациональное число в иррациональной степени может быть рациональным. Получили новое знание как бы из ничего - не зная, рационально исходное число $x$ или нет!

[ИСН]

Плохая Ваша возможность. Про большинство чисел неизвестна их иррациональность, я уж не говорю про трансцендентность (кто-нибудь знает, решён ли вопрос про \pi+e? а ещё что-нибудь из такого же банального?), да только неопределённость эта такая: сегодня она есть, а завтра её нет. Надо опираться на что-то более твёрдое.
Про числа Лиувилля, полагаю, Вы и без меня слышали.

[Руст]

Почти рациональные числа в вашем определении бесмысленица (они иррациональные и не обладают особыми свойствами, для того, чтобы их выделить от дркгих).
Что касается вашего числа х оно трансцендентное (теорема Гельфонда). А вообще в устных экзаменах у абитуриентов раньше спрашивали привести пример, когда иррпциональное число в степени иррациональное являющееся рациональным. Ваш пример хорош (только не зная теорему Гельфонда мы не знаем, какой именно из двух является ответом), обычный ответ дается формулой $$(\sqrt 2 )^{2\log_2 3 }$$.

[бобыль]

ИСН писал(а):

Плохая Ваша возможность. Про большинство чисел неизвестна их иррациональность, я уж не говорю про трансцендентность (кто-нибудь знает, решён ли вопрос про \pi+e? а ещё что-нибудь из такого же банального?), да только неопределённость эта такая: сегодня она есть, а завтра её нет. Надо опираться на что-то более твёрдое.
Про числа Лиувилля, полагаю, Вы и без меня слышали.

Неопределенность - это ресурс, причем важнейший. Вы говорите, "сегодня она есть, а завтра ее нет". Так вот пока она "есть", ее и надо использовать. В этом-то идея и состоит.

[бобыль]

Руст писал(а):

Почти рациональные числа в вашем определении бесмысленица (они иррациональные и не обладают особыми свойствами, для того, чтобы их выделить от дркгих).

Почему бессмыслица? Смысл их в том, что про них ПОКА НЕ ИЗВЕСТНО, рациональные они или нет.

Ну да ладно. А как насчет "почти периодических дробей" в смысле (1), (2) или (3)?

[Руст]

Если вы найдёте какую то особенность ваших "почти периодических дробей", то оправдаете их существование. Я не вижу, как оправдать существование этого термина.