Есть еще одна возможность, возникающая из практических соображений и мне более интересная:
(4) рассмотреть числа вроде постоянной Эйлера, (ир)рациональность которых неизвестна,
с целью как-то использовать связанную с ними неопределенность...
Возьмем для примера число

. Спрашивается, рационально оно или нет? Если рационально - значит, это тот случай, когда иррациональная степень иррационального числа рациональна. Если же оно иррационально, то возьмем это число

и

, и тогда

, т.е. снова степень рациональна. В итоге мы доказали, что иррациональное число в иррациональной степени
может быть рациональным. Получили новое знание как бы из ничего - не зная, рационально исходное число

или нет!