Стохастическое дифференциальное уравнение.

[zhenja88]

Помогите, пожалуйста, решить стохастическое дифференциальное уравнение $dA_t = H*A_t*dt + k*A_t*dW_t$, где $H$ и $k$ - коэффициенты, а $W_t$ - стандартный винеровский процесс. Знаю, что нужно использовать формулу Ито. Подскажите, с чего нужно начинать.

[id]

Ну если через ф-лу Ито (которая про произведения?), то как-то так:
Ищем решение в виде $X(t) = X_1(t) X_2(t)$, при чем
1) $dX_1(t) = k X_1(t) dW_t$
2) $dX_2(t) = A(t)dt + B(t)dW(t)$
где $A(t), B(t)$ нужно еще найти.
Подставляем это в $d(X_1(t)X_2(t)) = X_1(t)dX_2(t) + X_2(t)dX_1(t) + kB(t)X_1(t)dt$, расписываем. Получается, что в таком случае $B=0, A(t) = H X_2(t)$, и мы получаем простые стох. уравнения, которые решаются.


Ну или можно сделать сразу проще, проверив, что $X(t) = X_0 exp \{H t - \frac {k^2} 2 t + k W(t)\}$

[zhenja88]

Спасибо!!!
У меня получилось, что

$$X_1(t) = exp \{k W(t)+c_1\}$$

и

$$X_2(t) = exp \{Ht+c_2\}$$

. $$c_1$ и $c_2$ - коэффициенты. Их нужно каким-то образом найти... Я так понимаю, что для этого нужно куда-то подставить $X_1(t)$ и $X_2(t)$. А вот куда?
В итоге получается $X(t)$ вида:

$$X(t) =exp \{H t + k W(t) + c_3\}$$

.
Откуда тогда перед экспонентой возьмется $X_0$?..

[id]

$X_0$ - это начальное данное, случайная величина, равная $X(0)$.
Берем $X_1(0) = X_0$,$X_2(0) = 1$.
Тогда для $X_1(t)$ будем иметь $X_1(t) = X_0 exp\{k W(t) - \frac 1 2 t k^2 \}$, для $X_2(t) = exp\{ H t\}$.
Проверяется подстановкой в формулу дифференциала.

(Ваши значения констант будут "в начальном данном").

[zhenja88]

Подставив начальные значения, для $X_2(t)$ всё ясно, константа $c_2=0$ и всё хорошо.
С $X_2(t)$ возникли вопросы:
$X_1(0)=exp\{kW(0)+c_1\}=X_0$, винеровский процесс в нуле = 0 =>
$c_1=lnX_0$, а следовательно, $X_1(t)=exp\{kW(t)+lnX_0\}=X_0exp\{kW(t)\}$.
Осталось непонятным, почему появляется $-\frac12tk^2$?
И если можно, напишите, пожалуйста, формулу Ито, которую здесь применили.
Посоветуйте какие-нибудь учебно-методические пособия по стох. диф. уравнениям, если такие вообще есть.

[id]

Потому что так решается то самое первое стохастическое уравнение для $X_1(t)$, которое $dX_1(t) = k X_1(t) dW_t$.

А формула Ито - обычная, для стох. дифференциалов (Вы, как я понял, ошибочно решаете стохастическое дифференциальное уравнение как обычное, что нельзя, ведь справа стоит $dW(t)$, а не обычный "числовой" дифференциал):
Пусть $X(t)$ имеет стохастический дифференциал $dX(t) = F(w,t)dt + G(w,t)dW(t)$; $u(x,t)$ - функция, имеющая нужные частные производные.
$du(X(t),t) = \frac {\partial u} {\partial t} dt + \frac {\partial u} {\partial x} dX(t) + \frac 1 2 \frac {\partial^2 u} {\partial x^2} dt = ( \frac {\partial u} {\partial t} + \frac {\partial u} {\partial x} F(w,t) + \frac 1 2 \frac {\partial^2 u} {\partial x^2})dt + \frac {\partial u} {\partial x}G(w,t)dW(t)$

В случае $X_1(t)$ берем $u(x,t) = \exp \{kx - \frac 1 2 t k^2\}, \ dX(t) = dW(t)$, считаем, проверяем.

Конкретно эта формула есть в "Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов", а по самим уравнениям... не знаю, увы.

[zhenja88]

Всё, я разобралась!!
Для уравнения $dX_1(t)=kX_1(t)dW(t)$ взяла $u(t)=lnX_1(t)$, получила

$$du(t)=-\frac12k^2dt\\+kdW(t).$$

Проинтегрировав от 0 до t, получаем:

$$u(t)=u(0)-\frac12k^2t\\+kW(t)=>$$

$$lnX_1(t)=lnX_1(0)-\frac12k^2t\\+kW(t)=>$$

$$X_1(t)=exp\{lnX_1(0)-\frac12k^2t\\+kW(t)\}.$$

Т.к. $X_1(0)=X_0$, то

$$X_1(t)=X_0exp\{kW(t)-\frac12k^2t\}.$$

В итоге $X(t)=X_1(t)X_2(t)=X_0exp\{Ht+kW(t)-\frac12k^2t\}$.
id, БОЛЬШОЕ СПАСИБО ЗА ПОМОЩЬ!!!