Исследовать на сходимость интеграл.

[MegaFill]

Здравствуйте.
Хотел создать тему в подфоруме Анализ-I, но не смог...

Бился два дня, но так и не смог решить последний пример... Задание звучит так:

Сформулировать две теоремы срванения. Применяя эти теоремы, исследовать на сходимость несобственный интеграл.

$\int {\frac {{{(x {\cos x}})^4}} {{e^{2x}}}}$ верхний предел интеграла бесконечность, нижней 0 (я не нашел как в формулах их поставить)

Теорема сравнения така 0<=f(x) <= g(x) и если интеграл от бОльшей сходится, значит и исходный сходится

По-моему g(x) равно $\int {\frac{x^4}{e^{2x}}$ но как найти его, я не знаю.

[ewert]

MegaFill в сообщении #313321 писал(а):

По-моему g(x) равно $\int {\frac{x^4}{e^{2x}}$ но как найти его, я не знаю.

Найти -- по частям, но находить его не нужно. Достаточно того, что $x^4\cdot e^{-x}\to0$ на бесконечности и, следовательно, ограничено.

[MegaFill]

ewert спасибо. Я тоже рассматривал такой вариант, но я думал что все не может быть так просто...Спасибо еще раз.

[MegaFill]

Все оказалось немного сложнее. Вот вернули домашку после н-ого количества исправлений... Я не понимаю что от меня тут хотят(где красным подчеркнул). Почему там не ноль?

[ewert]

Ну, во-первых, предел-то тот равен вовсе не нулю. Как может быть равен нулю интеграл от положительного выражения?...

А главное. Вы сказали, что, дескать, знаменатель много больше числителя. Это замечательно, конечно, однако только из этого сходимость интеграла еще вовсе не следует.

(обратите внимание, что я писал экспоненту без двойки, и вовсе не по рассеянности)

[paha]

а попробуйте $g(x)=Ce^{-x}$... зачем мелочиться-то?-) Впрочем, ewert то же самое сказал

[MegaFill]

ewert, к сожалению я не смог сделать правильных выводов и написать как надо. Скажем предел не равен нулю, но он и не равен бесконечности... И я не понял почему Вы написали экспоненту без двойки? Единственная мысль это, что "без двойки экспонента быстрее растет чем x^4, а с двойкой и тем более..."

paha, то есть просто проинтегрировать, считая что x^4 равен константе?

[MegaFill]

Попробывал взять интеграл как сказал paha, Int С*х^4 dx в результате получилось -C*e/e^x и при Х -> бесконечности, все стремится к нулю... Я не понимаю

[paha]

ewert
Вам сказал, чито $x^4e^{-x}\le C$

[MegaFill]

То есть интеграл равен С и предел так же равен С и это все сходится?

[ewert]

Т.е. надо записать подынтегральную функцию как $h(x)\cdot e^{-x}$ и доказать, что $h(x)$ ограничена.

[MegaFill]

Но как доказать что x^4 при X стремязимся к бесконечности ограниченная функция?

[ewert]

MegaFill в сообщении #323291 писал(а):

Но как доказать что x^4 при X стремязимся к бесконечности ограниченная функция?

Не $x^4$, читайте внимательнее.