Аппроксимативная единица в С* алгебре

[neo66]

Есть тут специалисты по банаховым алгебрам? Такая задача из книжки Мерфи:
Пусть $A$ - $C^*$ алгебра и $a\in A$ - строго полжительный ее элемент. Доказать, что последовательность $a_n=a(a+\frac 1 n)^{-1}$ - является аппроксимативной единицей алгебры $A$.

Указание дается такое: (определим функцию $g_n: \sigma (a) \to \mathbb{R}$ формулой $g_n(t)=\frac {t^2}{t+1/n}$. Покажите, что последовательность $g_n$ поточечно возрастает и поточечно сходится к включению $z: \sigma (a) \to \mathbb{R}$. Используя теорему Дини, выведите отсюда, что $(g_n)$ равномерно сходится к $z$. Следовательно, $a=lim(aa_n)$ при $n$ стремящимся к бесконечности.)

Это понятно. Непонятно, где используется строгая положительность $a$ и как отсюда следует $b=lim(a_nb)$ для всех $b$.

[Padawan]

Если $a$ обратим, а он вроде обратим, т.к. спектр >0, то $\lim\limits_n a_nb=\lim\limits_n a_naa^{-1}b=aa^{-1}b=b$. Нет?

[neo66]

Padawan в сообщении #323105 писал(а):

Если $a$ обратим, а он вроде обратим, т.к. спектр >0, то $\lim\limits_n a_nb=\lim\limits_n a_naa^{-1}b=aa^{-1}b=b$. Нет?

Строго положительный элемент $a$ определяется как такой, что $\tau(a)>0$ для любого положительного функционала $\tau$. Алгебра $A$ не обязана быть унитальной , то есть алгеброй с единицей. Если $A$ унитальна, то $a$ - обратим (т.е спектр действительно >0, хотя это надо доказывать) и это Ваше рассуждение действительно верно.

Если $A$ не унитальна, то мы присоединяем 1, получая алгебру $B$. Теперь, надо доказать, что $a$ строго положителен в алгебре $B$. Но это, вроде следует из представления Гельфанда для коммутативной алгебры, порожденной $a$ и $1$.

[Padawan]

neo66
Просто там стоит $a(a+\frac{1}{n})^{-1}$, вот я и подумал, что в $A$ есть единица

[neo66]

Возвращаюсь к этой теме потому, что разобрался в задаче. Может, кому-нибудь будет интересно. Некоторые ключевые моменты:

1. Алгебра $A$ предполагается без единицы. $a$ - строго положителен. Присоединяя единицу получаем алгебру $A_e$. $A$ является идеалом в $A_e$. $(a+\frac 1 n)$ обратим в $A_e$ (поскольку $a\ge 0) $и $a_n=a(a+\frac 1 n)^{-1} \in A$.

2. Пафос задачи в том, что в таком случае $(a_n)$ - счетная аппроксимативная единица.

3. Утверждение, что $a$ обратим в $A_e$ неверно. Пример: $A$ - алгебра непрерывных действительных функций, убывающих на $\infty$. $a$ - какая-нибудь строго положительная функция.

4. Сначала в лоб докажем, что $|aa_n - a|\le \frac 1 n$, то есть $aa_n \to a$.

5. Затем воспользуемся такой характеризацией строго положительных элементов: $a$ - строго положителен тогда и только тогда, когда $\overline{aA}=A$.

6. Из 4. и 5. без особых проблем следует, что $ba_n \to b$ $\forall b\in A$.