Возвращаюсь к этой теме потому, что разобрался в задаче. Может, кому-нибудь будет интересно. Некоторые ключевые моменты:
1. Алгебра

предполагается без единицы.

- строго положителен. Присоединяя единицу получаем алгебру

.

является идеалом в


обратим в

(поскольку

и

.
2. Пафос задачи в том, что в таком случае

- счетная аппроксимативная единица.
3. Утверждение, что

обратим в

неверно. Пример:

- алгебра непрерывных действительных функций, убывающих на

.

- какая-нибудь строго положительная функция.
4. Сначала в лоб докажем, что

, то есть

.
5. Затем воспользуемся такой характеризацией строго положительных элементов:

- строго положителен тогда и только тогда, когда

.
6. Из 4. и 5. без особых проблем следует, что

.