эктсремум функции в области D, заданной неравенствами

[NeBotan]

ДОброго времени суток!

Вошел в ступор при решении следующего примера:

Найти наименьшее и наибольше значение функции $z=x^2+xy$ в замкнутой области Д, заданной системой неравенств $-1\leq x\leq 1,\;\;\; 0\leq y\leq 3$

Сперва нашел стационарные точки. Получилась точка (0;0), в которой функция экстремума не имеет. Далее записал уравнение связи исходя из неравенств, Так как неравенства ограничивают прямоугольник площадью 6, то у меня получилось следующее уравнение $xy-6=0$

Далее составил функцию $u=z+\lambda (xy-6)$ и исследовал ее на экстремум. получил снова точку (0;0) при $\lambda=-1$. В итоге у меня получилось, что экстремумов нету.


А как найти тогда наименьшее и наибольшие значения? Я не понимаю, как мне пробегать область, заданную неравенствами и и смотреть значения функции z в данных точках. ПОдскажите пожалуйста!

[Sasha2]

Нет экстремум есть, например в точке (1, 3) имеет место максимум, а в точке (-1, 3)...?

[Полосин]

Вы неправильно записали уравнения связи. Граница области состоит из четырех отрезков. Исследуйте функцию на каждом из них.

[NeBotan]

то есть я должен исследовать на экстремум следующие функции:
$\\u=x^2+xy+\lambda (x-1)\\\\u=x^2+xy+\lambda (x+1)\\\\u=x^2+xy+\lambda y\\\\u=x^2+xy+\lambda (x-3)$

Правильно я понял?

[NeBotan]

у меня получилось, что есть экстремум при y=3. но решив систему
$\\ \frac{\partial u}{\partial x}=2x+y=0\\\\ \frac{\partial u}{\partial y}=x+\lambda =0\\\\y=3$

Получилась точка (-3/2;3), а она выпадает из заданной области .

Sasha2 , а как прийти к точкам (-1;3) и (1;3) ?? нужно другие уравнения связи задать или что?

[ИСН]

Углы по-любому надо отдельно проверять. А вообще-то советую Вам один раз решить это дело тупо в лоб, без уравнений связи. Они больше мешают.

[NeBotan]

про углы понял! А вот про в лоб недогнал. я представляю как решать без связи и когда связь задана конкретным уравнением....

[ИСН]

Ну как. Чему, положим, равна функция $x^2+y^2$ (для примера взял не Ваш случай) вдоль прямой $y=1$? Сюрприз: она равна $x^2+1$, а как искать минимум от функции одной переменной, многие знают...

[vvvv]

NeBotan в сообщении #322931 писал(а):

ДОброго времени суток!
А как найти тогда наименьшее и наибольшие значения? Я не понимаю, как мне пробегать область, заданную неравенствами и и смотреть значения функции z в данных точках. ПОдскажите пожалуйста!

Эта картинка должна Вам помочь

[NeBotan]

ИСН и vvvv - благодарю за разъяснения! вроде все понял. пойду дорешивать!)