Помогите доказать тождества.

[Eiktyrnir]

Помогите пожалуйста доказать следующие уравнения.
1. Доказать, что $\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}-n\overline{x}$, где
$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}$
Как я действовал...
$\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}-2x_{k}\overline{x}+\overline{x}^{2}}$
далее возился вот с этим выражением справа под знаком суммы
$-2x_{k}\overline{x}+\overline{x}^{2}$
это (по моему мнению) есть не что иное (?!) как
$-2x_{k}\overline{x}+\overline{x}^{2}=\overline{x}^2(1-2n)$
но как же быть (?), если это должно быть $\overline{x}^2n$
немогу найти у себя подвох... Помогите пожалуйста...
2. Доказать, что$\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^kp^{k}(1-p)^{n-k}=1$
Вроде как простая формулка, но никак немогу взять в толк...
$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ и т.е. получается что надо получить, что-то типа $\sum\limits_{k=0}^{n}p^{k}(1-p)^{n-k}=\frac{k!(n-k)!}{n!}$
Похоже на формулу из закона повторений испытаний для схемы Бернулли - вроде когда-то выводил, но вот немогу "повторить результат", у меня получается чепуха ...
$\sum\limits_{k=0}^{n}p^{k}(1-p)^{n-k}}=(1-p)^{n}+p(1-p)^{n-1}+p^{2}(1-p)^{n-2}+...+p^{n}}=(1-p)^{n}}(1+\frac{p}{1-p}+\frac{p^2}{(1-p)^{2}}+...+\frac{p^{n}}{(1-p)^{n}})$
дальше "уперся в стенку"... Подскажите, где "дверь"
3. Доказать, что
$\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k3^{k}=4^{n}$
$\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k3^{k}=1+n3+\frac{n(n-1)}{2!}3^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}3^3+...+3^{n}$
Дальше смотрю и понимаю, что никак не хватает ума (как и в предыдущих случаях) получить из этого всего $4^{n}$ - сумму ряда немогу получить (увы)...
Люди добрые (корифеюшки) помогите кто чем может...

[AKM]

Eiktyrnir в сообщении #322868 писал(а):

Помогите пожалуйста доказать следующие уравнения.
1. Доказать, что $\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}-n\overline{x}$, где ...

Прочитал только это. Сильно не понравилось:

0. Уравнения не доказывают. Их решают. Доказывают равенства, теоремы, соотношения и пр.

1. Явное нарушение размерностей: слева квадратные метры, справа линейные. Так не бывает.

Корифеев звать рано, надо эту банальность исправить. Хотите в карантинчик (там легко править)?

-- Сб май 22, 2010 23:43:22 --

Хе-хе: слева не-обязательно-ноль, справа ноль-и-только-ноль. Не, так не бывает.

[Полосин]

Не корысти ради:
2. $1=(p+1-p)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^kp^k(1-p)^{n-k}$;
3. $4=3+1$ и тот же бином Ньютона.

[ewert]

Eiktyrnir в сообщении #322868 писал(а):

1. Доказать, что $\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}-n\overline{x}$,

Ничего и не будет получаться, пока Вы гордо игнорируете квадраты и скобки:

$\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}}^{2}-2{x_{k}}\overline{x}+\overline{x}^{2})=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}^{2}-2\overline{x}\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}+n\overline{x}^{2}=\ldots$

[Eiktyrnir]

AKM в сообщении #322881 писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #322868 писал(а):

Помогите пожалуйста доказать следующие уравнения.
1. Доказать, что $\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}-n\overline{x}$, где ...

Прочитал только это. Сильно не понравилось:

0. Уравнения не доказывают. Их решают. Доказывают равенства, теоремы, соотношения и пр.

1. Явное нарушение размерностей: слева квадратные метры, справа линейные. Так не бывает.

Корифеев звать рано, надо эту банальность исправить. Хотите в карантинчик (там легко править)?

-- Сб май 22, 2010 23:43:22 --

Хе-хе: слева не-обязательно-ноль, справа ноль-и-только-ноль. Не, так не бывает.

Да мои оговорка и опечатка. Доказать равенство конечно же. А пример звучит так.
$\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}}-n\overline{x}^{2}$
Пожалуйста ненадо в карантин...
-- Вс май 23, 2010 09:04:10 --

ewert в сообщении #322955 писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #322868 писал(а):

1. Доказать, что $\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}-n\overline{x}$,

Ничего и не будет получаться, пока Вы гордо игнорируете квадраты и скобки:

$\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}-\overline{x}})^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}({x_{k}}^{2}-2{x_{k}}\overline{x}+\overline{x}^{2})=\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}^{2}-2\overline{x}\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}+n\overline{x}^{2}=\ldots$

Стараюсь избавится от гордости (хотя я думал всегда что сам не горд). Спасибо, что указали на мой недостаток. Да я вас теперь начинаю понимать. Спасибо. Кажется я понял теперь насчет 1-го примера.

-- Вс май 23, 2010 09:04:57 --

Полосин в сообщении #322890 писал(а):

Не корысти ради:
2. $1=(p+1-p)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^kp^k(1-p)^{n-k}$;
3. $4=3+1$ и тот же бином Ньютона.

СПАСИБО ВАМ ОГРОМНОЕ. Теперь мой "горизонт" немножечко расширился...

[AKM]

(Оффтоп)

Eiktyrnir в сообщении #322963 писал(а):

Пожалуйста ненадо в карантин...

Пожалуйста, не надо моё предложение рассматривать как мягкую угрозу (я такого себе не позволяю).
Участники иногда просятся на часок в карантин, дабы исправить ошибки.

[Eiktyrnir]

AKM в сообщении #322982 писал(а):

(Оффтоп)

Eiktyrnir в сообщении #322963 писал(а):

Пожалуйста ненадо в карантин...

Пожадуйста, не надо моё предложение рассматривать как мягкую угрозу (я такого себе не позволяю).
Участники иногда просятся на часок в карантин, дабы исправить ошибки.

Хорошо, я вас понял. Впредь буду внимательнее (до сих пор за название темы стыдно ). У меня благодаря помощи (ewert и Полосин) - все получилось. Выражаю безграничную благодарность ewert, Полосин, AKM.