Помогите с задачами по элементарной планиметрии

[QAZWSX12345]

В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A1C1. Прямые AD и A1C1 пересекаются в точке K. Докажите, что 2A1K = |b – c|.
На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что MN||AC. Докажите, что SABM = SCBN.
На диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки P и Q так, что AP = CQ. Точка М такова, что PM||AD и QM||AB. Докажите, что точка M лежит на диагонали BD.
Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.
Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причем остается равносторонний шестиугольник. Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

[TOTAL]

QAZWSX12345 в сообщении #308950 писал(а):

Помогите с задачами по элементарной планиметрии

Что конкретно не смогли сделать?

[Sasha2]

Вот в предпоследней задаче воспользуйтесь тем, что исходный треугольник и треуугольник, отсекающий, подобны, а также, что тем, что они обладают одной и той же вписанной окружностью, а значит ...

[Батороев]

1. Из т. $C_1, K, A_1$ проведите к стороне $AC$ прямые параллельные сторонам $a, c$ и среди полученных параллелограммов попытайтесь найти ромб.

-- Вт апр 13, 2010 22:02:12 --

2. Следует из равенства треугольников $BMD$ и $BND$, а равенство последних - из свойств медианы.

[QAZWSX12345]

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

[arqady]

QAZWSX12345 в сообщении #321931 писал(а):

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

Подобие. У меня получилось $\frac{2abc}{ab+ac+bc}$

[QAZWSX12345]

В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A1C1. Прямые AD и A1C1 пересекаются в точке K. Докажите, что 2A1K = |b – c|.

-- Чт май 20, 2010 20:18:40 --

arqady в сообщении #321955 писал(а):

QAZWSX12345 в сообщении #321931 писал(а):

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

Подобие. У меня получилось $\frac{2abc}{ab+ac+bc}$

Каким образом у Вас так получилось?

-- Чт май 20, 2010 20:19:32 --

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.

[arqady]

QAZWSX12345 в сообщении #321973 писал(а):

arqady в сообщении #321955 писал(а):

QAZWSX12345 в сообщении #321931 писал(а):

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

Подобие. У меня получилось $\frac{2abc}{ab+ac+bc}$

Каким образом у Вас так получилось?

Подобие... Могу дать ещё две подсказки:
1) нарисуйте чертёж;
2) пусть $MN$ - отрезок и $K$ - точка на нём. Тогда $MK+KN=MN.$
Ищите подобные треугольники, отрезок и точку на нём и всё это в контексте Вашей задачи.
Должно получиться. Удачи!

[QAZWSX12345]

Помогите решить задачу :
Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.

-- Пт май 21, 2010 19:19:09 --

КАК решить:
В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A1C1. Прямые AD и A1C1 пересекаются в точке K. Докажите, что 2A1K = |b – c|.

[gris]

Вот по последней задаче. Если треугольник правильный, то точки $C1, D,K$ совпадут. Нет ли какого перепута с буквами? Хотя, если $A1$ лежит на $CB$...

[QAZWSX12345]

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.

[gris]

QAZWSX12345 А что Вы постите одно и то же, одно и то же. Может быть у Вас случилось что? Я Вам посылаю чертёж к задаче о трапеции. Может быть Вы там теорему Фалеса увидите или подобные треугольники.
Приятного аппетита!

[QAZWSX12345]

А какие именно подобные треугольники следует рассматривать????

[gris]

Такие треугольники, в которые входят нужные нам отрезки. Тут мы их видим много.
$\Delta ADO \sim\Delta EFO \sim\Delta BCO$
$\Delta ADK \sim\Delta CBK$
$\Delta AEK \sim\Delta ABC$
$\Delta DKF \sim\Delta DBC$

Да и Фалес даёт кучу пропорций.

[QAZWSX12345]

А как конкретно доказать, что AE : CF = AO : CO.????