Не все уравнения Абеля решаются в квадратурах

[e7e5]

Как доказывают, что конкретное уравнение в квадратурах не решается?

Или, если среди например уравнений Абеля, какое-то конкретное подозревается в невозможности найти решение в квадратурах, то как сие доказать?

[ha]

Считают группу Галуа. Она должна быть разрешима с помощью групп $\mathbb Z_2$.

[RIP]

здесь был оффтоп.

[e7e5]

RIP в сообщении #322671 писал(а):

Другими словами, для разрешимости в квадратных радикалах полиномиального уравнения (с рациональными коэффициентами) степень поля разложения (=порядок группы Галуа) должна быть степенью двойки (и наоборот).

На конкрентном примере могли бы пояснить, пожалуйста.

Например, было исходное ур.
$y'^2=-y^2+f^2$ приводят к уравнению вида
$v'=1-\frac {f'} {f} v+v^2 -\frac {f'} {f}v^3$, где $f(t)$- линейная функция
В справочнике по нелинейным дифф. ур. (В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин) предлагается это уравнение приводить к уравнению Абеля второго рода. Делается это с учетом того, что функции $v=\pm i$ - частные решения уравнения.
...

$z z'_t-(3if'-f)fe^{2it}z=f^3f'e^{4it}$
Уже это уравнение можно привести к каноническому виду. Но чем дальше, темл непонятнее. Вообщем то есть подозрение, что исходное уранение в квадратурах не решается. Как это доказать или опровергнуть эту гипотезу?

[RIP]

e7e5 в сообщении #322728 писал(а):

На конкрентном примере могли бы пояснить, пожалуйста.

не мог бы: я неправильно понял вопрос и ответил на совершенно другой вопрос (т.е. ляпнул глупость, как всегда). здесь вот говорят, что есть такая штука, как "групповой анализ дифф. уравнений".

[V.V.]

RIP, боюсь, что здесь групповой анализ не очень поможет.

Хованский развивает топологическую теорию Галуа, которая позволяет доказывать неразрешимость. Например, http://mi.mathnet.ru/rus/tm/v259/p86 и http://biblio.mccme.ru/node/1920

Но действительно ли необходима разрешимость в квадратурах? Для технических задач, мне казалось, важнее асимптотики и качественное исследование.

[e7e5]

V.V. в сообщении #322774 писал(а):

Но действительно ли необходима разрешимость в квадратурах? Для технических задач, мне казалось, важнее асимптотики и качественное исследование.

Действительно бывает и так.

В исходном уравнении наблюдается существенно нетривилаьное поведение $y(t)$ при малых $t$ ( если решать уравнение численными методами).

С другой стороны, интерес, в учебных целях, представляет вопрос топика.

[e7e5]

RIP в сообщении #322731 писал(а):

здесь вот говорят, что есть такая штука, как "групповой анализ дифф. уравнений".

Посмотрел, не очень понял, как приложить то, что в брошюре к конкретному имеющемуся уравнению с точки зрения доказательства гипотезы о разрешимости ( неразрешимости) в квадратурах.

???

[Padawan]

e7e5
Групповой анализ наоборот помогает находить решения в квадратурах. А вот доказательства неразрешимости я в этих книгах не встречал (Овсянников, Ибрагимов, Олвер)