Точки n-мерного треугольника

[arseniiv]

Пусть у нас есть аналог правильного треугольника в $n$-мерном евклидовом пространстве. Выберем такой, у которого стороны $1$ и центр в начале координат. К тому же можно ограничить все, кроме первой, координаты одной из его вершин нулями. (Какое-то корявое описание получилось...) А теперь вопрос: как проще всего найти координаты всех вершин такой фигуры? (Как оказывается, этих ограничений в общем недостаточно. Думаю, можно координаты остальных, кроме двух, точек, тоже сделать нулями, но у каждой точки на одну "свободную" координату больше, итого они будут лежать в разных выбранных многообразиях размерностей от $1$ до $n-1$. Надеюсь, после этого фигура задаётся однозначно.) Не думаю, что есть какая-то формула (если только не рекуррентная), а за алгоритм спасибо скажу. Только если это не алгоритм составления соответствующих уравнений и их решения — это у меня и так есть, но мало. Потому что Mathematica сгенерированную собой же кипу уравнений для 4-треугольника решить пока не смогла... Ещё бы, 15 уравнений относительно 20 переменных-координат! Правда, у меня одна из пяти точек там зафиксирована с тремя нулями в координатах, а ещё одна с двумя нулями и ещё одна с одним — нет. Стало бы 18 уравнений, что всё равно мало, чтобы ей долго не пересчитывать. Потому и обращаюсь за советом.

[venco]

У меня получилась такая формула:
Берём точку:
$\left(\frac 1 {\sqrt{2 \cdot 1 \cdot 2}},\frac 1 {\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3}},...,\frac 1 {\sqrt{2 \cdot n \cdot (n+1)}}\right)$
И домножаем её покоординатно на:
$(-1,-1,-1,...,-1)$
$(1,-1,-1,...,-1)$
$(0,2,-1,...,-1)$
...
$(0,0,...,n-1,-1)$
$(0,0,...,0,n)$

Вроде получается то, что надо.

[EtCetera]

В виде алгоритма:
$v_0^{(0)}=(0)$
При $n\ge 1$
$v_0^{(n)}=\left(R^{(n)},\underbrace{0,0,...,0}_{n-1}\right)$
$v_k^{(n)}=\left(-r^{(n)},v_{k-1}^{(n-1)}\right)$, $1\le k\le n$
Здесь $v_k^{(n)}$ - набор координат вершины под номером $k$ (нумерация с 0) в пространстве размерности $n$, $R^{(n)}=a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$ - радиус описанной сферы, $r^{(n)}=\frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}$ - радиус вписанной сферы, $a$ - длина ребра (сторона) симплекса.

[arseniiv]

Спасибо, venco и EtCetera!