Топологическая размерность "только для связных"?

[worm2]

В одной методичке прочёл определение:

Цитата:

Топологическая размерность $D_T$.

Топологическая размерность любого конечного множества точек есть 0.
Топологическая размерность любого связанного множества точек есть $D_T+1$, если оно может быть разрезано на 2 несвязанные части исключением из него как минимум $D_T$-мерного множества точек.

(например, получается, что Т.р. объединения двух касающихся друг друга шаров есть 1).

Я в топологии практически полный ноль, тем не менее, это определение меня удивило. Поиск в Интернете ничего похожего не дал (может, искал плохо?), книжек подходящих под рукой нет.
В связи с чем вопрос: есть ли такое определение, и действительно ли определённая таким образом характеристика имеет право называться "топологической размерностью"? Может, правильно как-то по другому её назвать?

[AlexDem]

Напоминает размерность Урынсона. Есть в Энгелькинге, но проще здесь. Вообще, говорится о любых замкнутых множествах без общих точек, которые можно разделить перегородкой.

[worm2]

Спасибо! Похоже, действительно, есть такая штука, и она так называется. Просто я далёк от топологии. И грешным делом думал, что в случае метрического пространства топологическая размерность должна совпасть с метрической.

[paha]

worm2 в сообщении #321941 писал(а):

топологическая размерность должна совпасть с метрической.

нескромный вопрос: что такое метрическая размерность?

-- Пт май 21, 2010 02:03:24 --

worm2 в сообщении #321922 писал(а):

В связи с чем вопрос: есть ли такое определение,

забавное определение... "связанные" -- это "связные"?

ради интереса забил в гугль и нашел это определение в одном единственном месте -- обзоре из УФН (1986 г.) Причем там эта величина $d_T$ "определена" в одном месте и в дальнейшем ВООБЩЕ не фигурирует

на мой вкус глупо называть "размерностью" немонотонную величину: $A\subset B\not\Rightarrow d_T(A)\le d_T(B)$

Название "топологическая размерность" давно застолблено за резмерностью Лебега по покрытиям

[AlexDem]

Энгелькинг выделяет три разных размерности топологических пространств: ind, Ind и dim, которые не всегда совпадают друг с другом. Размерность Чеха-Лебега - последняя из них.

По поводу метрики - она не обязана быть согласована с топологией. Можно взять евклидово пространство размерности $3$ и объявить каждую его точку замкнутым множеством. Тогда в смысле топологии это дискретное пространство будет иметь размерность $0$, а метрика останется прежней.

[Padawan]

Только не int, а ind - "индуктивная"

[AlexDem]

Это руки виноваты - рефлекс

[paha]

AlexDem в сообщении #322212 писал(а):

Можно взять евклидово пространство размерности $3$ и объявить каждую его точку замкнутым множеством. Тогда в смысле топологии это дискретное пространство

все-таки открытым множеством, иначе дискретной топологии не получится (точки в евклидовом пространстве и так замкнуты)

AlexDem в сообщении #322212 писал(а):

Можно взять евклидово пространство размерности $3$ и объявить каждую его точку замкнутым множеством

В этом случае пространство перестанет быть евклидовым

[AlexDem]

paha в сообщении #322403 писал(а):

все-таки открытым множеством, иначе дискретной топологии не получится

Да, я ошибся - открытым . В общем, здесь это не столь важно - можно ввести любую топологию, метризуемую или нет.

paha в сообщении #322403 писал(а):

В этом случае пространство перестанет быть евклидовым

Пространство перестанет быть евклидовым, но метрика-то никуда не денется. Просто она не будет согласована с топологией.

-- Пт май 21, 2010 15:35:16 --

Чтобы далеко не ходить могу привести близкий мне пример: пространство Минковского. Топологию его принято считать евклидовой, интервал же аксиомам метрики не удовлетворяет.

[paha]

AlexDem в сообщении #322414 писал(а):

Пространство перестанет быть евклидовым, но метрика-то никуда не денется. Просто она не будет согласована с топологией.

Евклидово пространство положительной размерности без своей топологии -- это просто множество мощности континуум:) А на таком множестве и метрик разных и топологий -- хоть залейся.

Дискретная топология на любом множестве порождается некоторой метрикой

[AlexDem]

paha в сообщении #322430 писал(а):

Евклидово пространство положительной размерности без своей топологии -- это просто множество мощности континуум:) А на таком множестве и метрик разных и топологий -- хоть залейся.

Ну и что? Я говорил о том, что метрическая и топологическая структура - несколько разные вещи.

paha в сообщении #322430 писал(а):

Дискретная топология на любом множестве порождается некоторой метрикой

Например, $d(x, y) = 1$? Хотя, я не понял сути замечания...

[paha]

AlexDem в сообщении #322414 писал(а):

Чтобы далеко не ходить могу привести близкий мне пример

это пример чего?

AlexDem в сообщении #322414 писал(а):

Чтобы далеко не ходить могу привести близкий мне пример: пространство Минковского. Топологию его принято считать евклидовой, интервал же аксиомам метрики не удовлетворяет.

Пространство Минковского прежде всего -- прямое произведение $d$-мерного евклидова пространства (пространственная часть) и $1$-мерного (временная). Топология такого произведения понятно какая. Ну а то, что мы на этом прямом произведении рассматриваем дополнительную структуру, некую "псевдометрику", к топологии отношения уже не имеет... непрерывна эта псевдометрика и ладно

[AlexDem]

AlexDem в сообщении #322438 писал(а):

Я говорил о том, что метрическая и топологическая структура - несколько разные вещи.

paha в сообщении #322443 писал(а):

мы на этом прямом произведении рассматриваем дополнительную структуру

В общем, я не знаю, что возразить.

[paha]

AlexDem в сообщении #322438 писал(а):

Ну и что? Я говорил о том, что метрическая и топологическая структура - несколько разные вещи.

Когда мы говорим "метрическое пространство", то всегда подразумеваем индуцированную метрикой топологию.

Обратное неверно... да, говоря о топологическом пространстве метрика не подразумевается.

Я только о том хотел сказать, что если на топологическом пространстве $X$ имеется не согласованная с топологией метрика, то это не метрика никакая, а просто функция $X\times X\to{\mathbb R}$:)
вопрос словоупотребления

[AlexDem]

paha в сообщении #322443 писал(а):

непрерывна эта псевдометрика и ладно

А как доказать непрерывность? Там комплексные значения вылезают, я попробовал по вот этому определению сделать.