n-симплекс в R^{n+1}

[kol]

Добрый вечер!

Однажды я встречал достаточно простые формулы для вершин правильного $n$-мерного симплекса.

Что-то типа
$(+1, +1, +1),(−1, −1, +1),(−1, +1, −1),(+1, −1, −1).$

Но для любой размерности - не только для тетраэдра.

Подскажите, пожалуйста, где их можно найти?

Спасибо.

[ИСН]

Для любой таких не может быть. Иначе где они на плоскости?

[paha]

kol в сообщении #322006 писал(а):

Однажды я встречал

возьмите гиперплоскость $x_1+\ldots+x_{n+1}=1$ в ${\mathbb R}^{n+1}$ и посмотрите где она с координатными осями пересекается

[ewert]

paha в сообщении #322162 писал(а):

возьмите гиперплоскость $x_1+\ldots+x_{n+1}=1$ в ${\mathbb R}^{n+1}$ и посмотрите где она с координатными осями пересекается

Там нехорошо -- нет "естественных" внутренних координат. Но можно для начала взять в ${\mathbb R}^{n}$ тетраэдр, отсекаемый гиперплоскостью $x_1+x_2+\ldots+x_{n}=1$ от координатных гиперплоскостей. А затем немножко потянуть его, заменив вершину в начале координат на точку $(-c,-c,\ldots,-c)$ с подходящим $c$.

[Padawan]

ewert
Есть - $x_1,x_2,\ldots, x_n,x_{n+1}$ - барицентрические координаты.

[paha]

Padawan в сообщении #322237 писал(а):

Есть

ewert'у больше нравится когда сумма равна нулю)))

[EtCetera]

Я, конечно, могу чего-то не понимать, но в первом сообщении четко прозвучало:

kol в сообщении #322006 писал(а):

простые формулы для вершин правильного $n$-мерного симплекса

(выделение мое). Барицентрические координаты задают вершины симплекса, только правильным он не будет.
Если подразумевается, что "простые" формулы для вершин правильного симплекса могут содержать только значения координат -1 и +1, то существование можно поставить под определенное сомнение. Будем кодировать +1 единицей, а -1 - нулем, координатам каждой вершины будет соответствовать двоичная запись некоторого числа (длина этой записи равна размерности пространства). Тогда задача сведется к нахождению такого подмножества множества всех двоичных записей длиной $n$, число элементов в котором не меньше $n+1$, а любые два элемента отличаются в $k$ позициях. В случае $n=3$ $k=2$. И ни для $n=2$ (очевидно), ни для $n=4$ (перебором) такие подмножества выделить не удается.
Если же помимо $\pm 1$ среди значений координат может также попадаться и 0, то все становится сложнее...

[Padawan]

Будет правильным. При $n=2$ нарисуйте плоскость $x_1+x_2+x_3=1$.

[EtCetera]

Padawan
Понял свою ошибку. Спасибо.

Правда, остается неясным вопрос с заданием правильного симплекса с использованием только координат $\pm 1$, по аналогии с

kol в сообщении #322006 писал(а):

$(+1, +1, +1), (-1, -1, -1), (-1, -1, -1), (+1, -1, -1)$

...

[Padawan]

Симплекс, который предложил paha, умножить на 2 и потом от каждой координаты отнять 1.

[EtCetera]

Padawan
Нет, это понятно. Я имел в виду полную аналогию. Т.е. $n$-симплекс в $\mathbb{R}^{n}$ (хоть это и идет вразрез с заголовком темы).

[kol]

EtCetera в сообщении #322487 писал(а):

Padawan
Нет, это понятно. Я имел в виду полную аналогию. Т.е. $n$-симплекс в $\mathbb{R}^{n}$ (хоть это и идет вразрез с заголовком темы).

Да, я немного ошибся в заголовке.
Имеется ввиду симплекс из $n$ точек в $(n-1)$-мерном пространстве.
Насчёт красивости формулы - она состояла не только из единичек. Вроде входили дроби типа $\frac1n$.

Наверное, как говорит ewert, легче всего взять $(1,1,1,\ldots,1),(-1,1,1,\ldots,1),(1,-1,1,\ldots,1),\ldots,(1,1,1,\ldots,-1)$, и сдвинуть гиперплоскость с точками $(-1,1,1,\ldots,1),(1,-1,1,\ldots,1),\ldots,(1,1,1,\ldots,-1)$, на вектор вида $(-r,-r,-r,\ldots,-r)$.
Но что-то красиво пока не получается, а когда-то мне казалось, что формулы были красивыми. Может приснились

[paha]

kol в сообщении #322507 писал(а):

Наверное, как говорит ewert, легче всего взять

Ну, подумайте сами... как "красиво задать" правильный треугольник на плоскости? Ведь вершин у него три, а координат две...

paha в сообщении #322162 писал(а):

возьмите гиперплоскость $x_1+\ldots+x_{n+1}=1$ в ${\mathbb R}^{n+1}$ и посмотрите где она с координатными осями пересекается

Найдите же эти точки пересечения! У них красивые координаты.

(Оффтоп)

-- У тебя красивые жены, Абдулла!

-- Я дарю тебе их.

[ewert]

kol в сообщении #322507 писал(а):

Наверное, как говорит ewert, легче всего взять

Ну я вообще-то имел в виду точки из сплошь нулей и затесавшихся нечаянно меж них единичек как и рекомендовал paha А потом добавить к ним точку из сплошь нулей сдвинутую на соотвтствующий вектор Величина сдвига легко рассчитывается исходя из равенства углов

(прошу прощения за отсутствие знаков препинания у меня клавиатура заела и вот в частности на запятых и точках и не только И если вставлять принудительно буковки "е" и даже "б" вместе с "ы"еще можно то знаки препинания уж надоедают и даже надоели)

[EtCetera]

(Оффтоп)

ewert
А Вы по-телеграфному попробуйте тчк Вспомните старые времена зпт как говорится тчк