2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение20.05.2010, 20:42 
Добрый вечер!

Однажды я встречал достаточно простые формулы для вершин правильного $n$-мерного симплекса.

Что-то типа
$(+1, +1, +1),(−1, −1, +1),(−1, +1, −1),(+1, −1, −1).$

Но для любой размерности - не только для тетраэдра.

Подскажите, пожалуйста, где их можно найти?

Спасибо.

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение20.05.2010, 20:45 
Аватара пользователя
Для любой таких не может быть. Иначе где они на плоскости?

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 00:26 
Аватара пользователя
kol в сообщении #322006 писал(а):
Однажды я встречал


возьмите гиперплоскость $x_1+\ldots+x_{n+1}=1$ в ${\mathbb R}^{n+1}$ и посмотрите где она с координатными осями пересекается

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 07:40 
paha в сообщении #322162 писал(а):
возьмите гиперплоскость $x_1+\ldots+x_{n+1}=1$ в ${\mathbb R}^{n+1}$ и посмотрите где она с координатными осями пересекается

Там нехорошо -- нет "естественных" внутренних координат. Но можно для начала взять в ${\mathbb R}^{n}$ тетраэдр, отсекаемый гиперплоскостью $x_1+x_2+\ldots+x_{n}=1$ от координатных гиперплоскостей. А затем немножко потянуть его, заменив вершину в начале координат на точку $(-c,-c,\ldots,-c)$ с подходящим $c$.

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 08:46 
ewert
Есть - $x_1,x_2,\ldots, x_n,x_{n+1}$ - барицентрические координаты.

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 14:14 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #322237 писал(а):
Есть


ewert'у больше нравится когда сумма равна нулю)))

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 16:20 
Я, конечно, могу чего-то не понимать, но в первом сообщении четко прозвучало:
kol в сообщении #322006 писал(а):
простые формулы для вершин правильного $n$-мерного симплекса
(выделение мое). Барицентрические координаты задают вершины симплекса, только правильным он не будет.
Если подразумевается, что "простые" формулы для вершин правильного симплекса могут содержать только значения координат -1 и +1, то существование можно поставить под определенное сомнение. Будем кодировать +1 единицей, а -1 - нулем, координатам каждой вершины будет соответствовать двоичная запись некоторого числа (длина этой записи равна размерности пространства). Тогда задача сведется к нахождению такого подмножества множества всех двоичных записей длиной $n$, число элементов в котором не меньше $n+1$, а любые два элемента отличаются в $k$ позициях. В случае $n=3$ $k=2$. И ни для $n=2$ (очевидно), ни для $n=4$ (перебором) такие подмножества выделить не удается.
Если же помимо $\pm 1$ среди значений координат может также попадаться и 0, то все становится сложнее...

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 17:06 
Будет правильным. При $n=2$ нарисуйте плоскость $x_1+x_2+x_3=1$.

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 17:21 
Padawan
Понял свою ошибку. Спасибо.

Правда, остается неясным вопрос с заданием правильного симплекса с использованием только координат $\pm 1$, по аналогии с
kol в сообщении #322006 писал(а):
$(+1, +1, +1), (-1, -1, -1), (-1, -1, -1), (+1, -1, -1)$
...

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 17:27 
Симплекс, который предложил paha, умножить на 2 и потом от каждой координаты отнять 1.

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 17:35 
Padawan
Нет, это понятно. Я имел в виду полную аналогию. Т.е. $n$-симплекс в $\mathbb{R}^{n}$ (хоть это и идет вразрез с заголовком темы).

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 18:52 
EtCetera в сообщении #322487 писал(а):
Padawan
Нет, это понятно. Я имел в виду полную аналогию. Т.е. $n$-симплекс в $\mathbb{R}^{n}$ (хоть это и идет вразрез с заголовком темы).


Да, я немного ошибся в заголовке.
Имеется ввиду симплекс из $n$ точек в $(n-1)$-мерном пространстве.
Насчёт красивости формулы - она состояла не только из единичек. Вроде входили дроби типа $\frac1n$.

Наверное, как говорит ewert, легче всего взять $(1,1,1,\ldots,1),(-1,1,1,\ldots,1),(1,-1,1,\ldots,1),\ldots,(1,1,1,\ldots,-1)$, и сдвинуть гиперплоскость с точками $(-1,1,1,\ldots,1),(1,-1,1,\ldots,1),\ldots,(1,1,1,\ldots,-1)$, на вектор вида $(-r,-r,-r,\ldots,-r)$.
Но что-то красиво пока не получается, а когда-то мне казалось, что формулы были красивыми. Может приснились :D

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 19:46 
Аватара пользователя
kol в сообщении #322507 писал(а):
Наверное, как говорит ewert, легче всего взять


Ну, подумайте сами... как "красиво задать" правильный треугольник на плоскости? Ведь вершин у него три, а координат две...

paha в сообщении #322162 писал(а):
возьмите гиперплоскость $x_1+\ldots+x_{n+1}=1$ в ${\mathbb R}^{n+1}$ и посмотрите где она с координатными осями пересекается


Найдите же эти точки пересечения! У них красивые координаты.

(Оффтоп)

-- У тебя красивые жены, Абдулла!

-- Я дарю тебе их.

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 20:57 
kol в сообщении #322507 писал(а):
Наверное, как говорит ewert, легче всего взять

Ну я вообще-то имел в виду точки из сплошь нулей и затесавшихся нечаянно меж них единичек как и рекомендовал paha А потом добавить к ним точку из сплошь нулей сдвинутую на соотвтствующий вектор Величина сдвига легко рассчитывается исходя из равенства углов

(прошу прощения за отсутствие знаков препинания у меня клавиатура заела и вот в частности на запятых и точках и не только И если вставлять принудительно буковки "е" и даже "б" вместе с "ы"еще можно то знаки препинания уж надоедают и даже надоели)

 
 
 
 Re: n-симплекс в R^{n+1}
Сообщение21.05.2010, 21:05 

(Оффтоп)

ewert
А Вы по-телеграфному попробуйте тчк Вспомните старые времена зпт как говорится тчк :-)

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group