неравенство,8 класс

[gulya98]

Добрый вечер,подскажите начало решение неравенства
$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a^2+b^2)^2+(c^2+d^2)^2}$
в результате неоднакратного использования неравенства Коши,пришел к $\sqrt{\sqrt{abcd}}\geqslant\sqrt{\sqrt{abcd}}$
Зарание благодарю

[BapuK]

неравенство неверное где-то лишние квадраты, подставим $a=b=c=d=x$, справа получим $2\sqrt 2 |x|$, слева $2 \sqrt 2 x^2$, что очевидно верно не всегда

[arqady]

gulya98 в сообщении #321133 писал(а):

Добрый вечер,подскажите начало решение неравенства
$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a^2+b^2)^2+(c^2+d^2)^2}$
в результате неоднакратного использования неравенства Коши,пришел к $\sqrt{\sqrt{abcd}}\geqslant\sqrt{\sqrt{abcd}}$
Зарание благодарю

Вы, конечно, имеете в виду сдедующее неравенство:

$$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}$$

Сначала убедитесь, что числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ можно считать положительными.
Нарисуйте прямоугольник со длинами сторон $a+b$ и $c+d$ и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Кстати, очень полезное упражнение: избавившись от корней (возведением обеих частей неравенств в квадрат) докажите это неравенство алгебраически.

[Sasha2]

Просто возводим обе части в квадрат два раза с сокращением подобных (что можно, так как под корнями все положительно), а затем добавляете к обеим частям того что получилось ($a^2d^2+b^2c^2 \ge 2abcd$) по $a^2c^2+b^2d^2$ и получаете оригинальное неравенство Буняковского при $n=2$.
Если хотите, то по индукции легко распространяете это неравенство для любого $n>2$

[Nastya lovemaths]

gulya98 в сообщении #321133 писал(а):

Добрый вечер,подскажите начало решение неравенства
$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a^2+b^2)^2+(c^2+d^2)^2}$
в результате неоднакратного использования неравенства Коши,пришел к $\sqrt{\sqrt{abcd}}\geqslant\sqrt{\sqrt{abcd}}$
Зарание благодарю

Возвести обе части в квадрат)