2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 неравенство,8 класс
Сообщение18.05.2010, 18:04 
Добрый вечер,подскажите начало решение неравенства
$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a^2+b^2)^2+(c^2+d^2)^2}$
в результате неоднакратного использования неравенства Коши,пришел к $\sqrt{\sqrt{abcd}}\geqslant\sqrt{\sqrt{abcd}}$
Зарание благодарю

 
 
 
 Re: неравенство,8 класс
Сообщение18.05.2010, 18:22 
Аватара пользователя
неравенство неверное где-то лишние квадраты, подставим $a=b=c=d=x$, справа получим $2\sqrt 2 |x|$, слева $2 \sqrt 2 x^2$, что очевидно верно не всегда

 
 
 
 
Сообщение18.05.2010, 19:30 
gulya98 в сообщении #321133 писал(а):
Добрый вечер,подскажите начало решение неравенства
$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a^2+b^2)^2+(c^2+d^2)^2}$
в результате неоднакратного использования неравенства Коши,пришел к $\sqrt{\sqrt{abcd}}\geqslant\sqrt{\sqrt{abcd}}$
Зарание благодарю

Вы, конечно, имеете в виду сдедующее неравенство:
$$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}$$
Сначала убедитесь, что числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ можно считать положительными.
Нарисуйте прямоугольник со длинами сторон $a+b$ и $c+d$ и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Кстати, очень полезное упражнение: избавившись от корней (возведением обеих частей неравенств в квадрат) докажите это неравенство алгебраически.

 
 
 
 Re: неравенство,8 класс
Сообщение18.05.2010, 21:10 
Просто возводим обе части в квадрат два раза с сокращением подобных (что можно, так как под корнями все положительно), а затем добавляете к обеим частям того что получилось ($a^2d^2+b^2c^2 \ge 2abcd$) по $a^2c^2+b^2d^2$ и получаете оригинальное неравенство Буняковского при $n=2$.
Если хотите, то по индукции легко распространяете это неравенство для любого $n>2$

 
 
 
 Re: неравенство,8 класс
Сообщение21.11.2010, 18:28 
Аватара пользователя
gulya98 в сообщении #321133 писал(а):
Добрый вечер,подскажите начало решение неравенства
$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2} \geqslant\sqrt{(a^2+b^2)^2+(c^2+d^2)^2}$
в результате неоднакратного использования неравенства Коши,пришел к $\sqrt{\sqrt{abcd}}\geqslant\sqrt{\sqrt{abcd}}$
Зарание благодарю


Возвести обе части в квадрат)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group