Неопределяемая единица

[arseniiv]

Да, правда, что-то она долго не действует.

[ZVS]

Gem в сообщении #315443 писал(а):

arseniiv в сообщении #315320 писал(а):

Правда, пока вы не установите связь всего этого с чем-нибудь другим,

Вы не хотите понять, что если математика начинается с неопределяемой единицы и всё остальное выводится, то геометрия вполне может начинаться с неопределяемого единичного вектора положительного направления.

Первичные понятия всегда неопределяемы корректно,в тех терминах, которые, собственно и появятся уже вследствии существования данных понятий.
В любом приличном учебнике мат.анализа,легко и просто вводятся определения на полстраницы,а потом долго и нудно разворачивается формальная система операторов и операндов,вводимых как преобразования форм и отношений первичных определений.
Но есть одна толстая тонкость.
Принимается что все следствия всегда уже существуют вместе с аксиомами.Поэтому мы получаем право переопределять первичные понятия, исходя из их отношения как частей, внутри уже построенной системы.Пользуясь терминами, которые в принципе не могли бы появиться, не введи мы изначально понятия,для которых они в тот момент просто не существуют.
Словом,замкнуть систему принципиально не получается,но она должна быть в идеале замкнутой!
Потому как только тогда логические цепочки доказательств теорем будут опираться лишь на самих себя в переопределенном виде, то есть ВСЯ конструкция станет абсолютной истиной, которая в доказательствах, как известно не нуждается.А пока доказательство основано на правилах формальной логике в отношении понятий, ей подчиняющихса по определению.Но вот беда, самое ПЕРВОЕ,исходное определение, существует, ужас какой,само по себе,и подчиняться по определению введенным ВПОСЛЕДСТВИИ правилам совсем не обязано.
Вот и считаем по умолчанию, что система замкнута,вытеснив неоднозначность понятий на границу аксиоматики,и обьявив аксиоматику вне закона.
Очень удобно.

[Otez-osnovatel]

Gem в сообщении #313465 писал(а):

В аксиомах Пеано единица 1 является данным нам Богом неопределяемым числом.

А что дано первым - "единица" или "число"?
Если эти термины обозначают единое понятие, то зачем два термина сазу к одному понятию? Вот видите, с самого начала логические неувязки.
Если "единица", то этот термин и понятие относится в категории меры, надо же как то определить общее понятие в практике измерения. Поэтому и само собой определилось и используется понятие единицы измерения, не имеюшее к понятию числа никакого отношения.
Единица, таким образом, не число, а термин, обозначающий определённую меру явлений действительности - веса, скорости, силы, и т.п.
Число, обозначенное цифрой один, уже говорит о том, что это первое число по порядку следования от нуля. Пеано, конечно, хороший математик, но в логике, увы, никто. (Опять же не путаем логику с матлогикой.)
Число, как образно выразился Пифагор - суть вещей. (Логически - абстрактная форма всякого явления действительности.) В зависимости от области применения, число может выражать единицу меры; обозначенное цифрой, число отображает порядок своего положения в численности, а также обозначает определённое количество чисел (экстенсивно определённое количество), и определённое число (интенсивно определённое количество).
Вот видите, сколько неизвестных значений числа Пеано не знал, да и не только он, наверняка, и вы тоже. Число, единица, цифра - это различные понятия, и потому следует применять в соответствии с их смыслом и значением.