Неопределенные интегралы

[Miktor]

Помогите разобраться,в институте матан ведет мягко скажем не самый лучший учитель который ничего толком не объясняет,а сдавать надо.В интернете нашел но не все...
1) $\int x^3dx/(x^3-8)=x+8*\int dx/(x^3-8)$
2) $\int \sqrt( (e^x)^2 + e^x + 1)dx)=\int \sqrt( t^2 + t + 1)dt)=\int \sqrt( (t+1/2)^2 + 3/4)dt) $ где t=$e^x$

[gris]

1) $\int \dfrac{x^3}{x^3-8}\,dx=\int \dfrac{x^3-8+8}{x^3-8}\,dx=\int 1+\dfrac{8}{x^3-8}\,dx=...$

При интегрировании рациональных дробей, если степень многочлена числителя не меньше степени многочлена знаменателя, вначале выделяют целую часть "неправильной" дроби. В простых случаях выделяют в числителе выражение, равное или кратное знаменателю, а обычно попросту делят в столбик. Затем раскладывают знаменатель на множители и пользуются разложением на простейшие дроби, например, методом неопределённых коэффициентов.

2) $\int \sqrt{ (e^x)^2 + e^x + 1}\,dx\neq\int \sqrt{ t^2 + t + 1}\,dt=....$
Вы неправильно произвели замену. $t=e^x\Longrightarrow dt=e^xdx\Longrightarrow dx=\dfrac{dt}t$

[Miktor]

1)а разве у меня не тоже самое что написали Вы?
Разбиваем на сумму 2х интегралов
$\int \df1\,dx = x$
$ \int \dfrac 8{x^3-8}\,dx$ = 8*\int \dfrac 1{x^3-8}\,dx = ...
2)да ошибся...при пересчете получается почти тоже что и в ошибочном варианте:
$ \int \df \sqrt{(1/t + 1)^2 + 3/4}\,dx= ...$

[gris]

То же самое, конечно. Пардон, я подумал, что Вы не поняли, как это получается. Но раз это понятно, то шагайте дальше
$\dfrac1{x^3-8}=\dfrac1{(x-2)(x^2+2x+4)}=\dfrac A{x-2}+\dfrac {Bx+C}{x^2+2x+1+3}=...$
После кропотливых нудных вычислений будет и логарифм и арктангентс.
Второй интеграл тоже весьма нудный. Так что пилите, Miktor, пилите...

[Miktor]

шагнул...
$ \dfrac {Ax^2+2Ax+4A+Bx^2+Cx-2Bx-2C}{(x-2)(x^2+2x+4)}\ = \dfrac {x^2(A+B)+x(2A+C-2B)+(4A-2C)}{(x-2)(x^2+2x+4)}\ $
составляем систему
$ \left\{ \begin{array}{l} B=-1/12\\ A=1/12\\ C=-1/3 \end{array} \right. $ и заменяем $ \dfrac A{x-2}+\dfrac {Bx+C}{x^2+2x+4}= \dfrac1{12}\ ( \dfrac 1{x-2}\ - \dfrac {x+4}{x^2+2x+4}\ )$ $\dfrac {x+4}{x^2+2x+4}\ = \dfrac {Ax+B}{x^2+2x+4}\ $ $ \left\{ \begin{array}{l} A=1\\ B=4 \end{array} \right. $
Помойму бред... $ \dfrac {x+4}{x^2+2x+4}\ $

[gris]

Надо бы проверить, по похоже на правду. Итак, первая дробь интегрируется? логарифм модуля. Во второй в знаменателе выделяем полный квадрат и делаем замену. Дробь опять же распадается на две...

[Mitrius_Math]

Miktor в сообщении #320627 писал(а):

В интернете нашел, но не все...

Сборник задач по высшей математике, Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А., 1 курс (со с. 329) - http://infanata.ifolder.ru/16798059.

[Miktor]

gris
спасибо,разобрался,вроде так получается:
1)первая дробь:

$$\int \dfrac {dx}{x-2}\ = ln(|x-2|)$$

2)вторая дробь

$$ \int \dfrac {x+4}{x^2+2x+4}\,dx = \int \dfrac {x+4}{(x+1)^2+3}\,dx = \int \dfrac {t+3}{t^2+3}\,dt =$$ $$\int \dfrac {tdt}{t^2+3}\ +3 \int \dfrac {dt}{t^2+3}\ = \dfrac1{2}\ \int \dfrac {dt^2}{t^2+3}\ +3 \int \dfrac {dt}{t^2+3}\ = $$ $$ ln(t^2+3) + 3 \int \dfrac {dt}{t^2+3}\ = ln(t^2+3) + \sqrt3 \arctg{\dfrac t{\sqrt3}\ $$

[ИСН]

Что-то в этом роде, да. Арифметику проверьте железкой.

[Miktor]

ИСН в сообщении #320833 писал(а):

Что-то в этом роде, да. Арифметику проверьте железкой.

Подскажите где..

[Imperator]

Перед логарифмом одна вторая.

[AKM]

Miktor в сообщении #320840 писал(а):

Подскажите где..

Здесь, например.
Что касается формул, то \sqrt{аргумент корня}. Сравните:
\sqrt11111=$\sqrt11111$, но \sqrt{11111}=$\sqrt{11111}$

[Miktor]

Арифметика правильная.
но вопросы не кончились:
1)
$ \int \dfrac{dx}{(x-1)^3(x-2)}\ = \int \dfrac { \sqrt{x-2} }{ \sqrt{x-1} } \dfrac{dx}{(x-2)(x-1)}\rightarrow \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = \dfrac { \sqrt{x-2} }{ \sqrt{x-1}} ,\\ dx= \dfrac {2tdt}{(t^2-1)^2}, \end{array} \right = 2\int \dfrac {t^2dt}{(t^2-1)^2(x-1)(x-2)} $
и на этом месте вообще ступор,не знаю как избавится от $ \dfrac {1}{(x-1)(x-2)} $
2) $\int \sqrt{ (e^x)^2 + e^x + 1}\,dx$

[ИСН]

1) "Раскладывают знаменатель на множители и пользуются разложением на простейшие дроби". Только сначала объясните, откуда вдруг взялись корни, а также что делают t и x рядом друг с другом, так же не бывает.
2) Тут вчера был чувак, очень похожий на Вас - так вот, он знал, какую замену надо делать.

[Miktor]

1)

$$ t^2 = \dfrac {x-2}{x-1} $$

$$ x= \dfrac {t^2-2}{t^2-1} $$

$$ x-1 = \dfrac {t^2-2}{t^2-1} -1 = \dfrac {t^2-2 -t^2+1}{t^2-1} = -\dfrac {1}{t^2-1} $$

$$ x-2 = \dfrac {t^2-2}{t^2-1} -2 = \dfrac {t^2-2 -2t^2+2}{t^2-1} = -\dfrac {t^2}{t^2-1} $$

$$ \int \dfrac {2t^2 dt}{ \dfrac 1{t^2-1} \dfrac {t^2}{t^2-1}} = 2 \int (t^2-1)^2 ,dt = 2 \left ( \int {t^4} dt - 2 \int {t^2} dt + \int {t} dt ) = \right $$

$$ = \dfrac2{5}t^5- \dfrac{2}3t^3+t$$