Неопределенные интегралы

[gris]

1)С первой задачей я не понял. Походу подразумевалось, что присутствует невидимый радикал. Тогда по крайней мере верно первое преобразование.

$\int {\dfrac{dx}{\sqrt{(x-1)^3(x-2)}} = \int \dfrac { \sqrt{x-2} }{ \sqrt{x-1} } \dfrac{dx}{(x-2)(x-1)}$

Если же радикала не предполагалось, тогда

$\int {\dfrac{dx}{(x-1)^3(x-2)} = \int \dfrac A{x-2 }+\dfrac B{x-1 }+\dfrac C{(x-1)^2 }+\dfrac D{(x-1)^3 }\,dx$

Причём для нахождения неопределённых коэффициентов вовсе не нужно раскрывать скобки и группировать по степеням. Достаточно подставить в получившееся равенство числителей 4 удобных значения $x$

[gris]

По второй задаче. Заранее извиняюсь, если Вы уже её решили, или я скажу очевидные вещи

$\int \sqrt{ (e^x)^2 + e^x + 1}\,dx$
Если не получается сразу увидеть или отыскать в учебнике красивое решение, подстановку Эйлера, которую и не запомнишь, то идите тупо, как танк, прямым путём. Первая замена $t=e^x\Longrightarrow dt=e^xdx\Longrightarrow dx=\dfrac{dt}t$
Получаем $\int \dfrac{\sqrt{ t^2 +t + 1}}{t}\,dt$
Далее вспоминаем, что в табличных интегралах есть нечто похожее, но там корень внизу. Домножаем на корень, памятуя, что подкоренное выражение, как и сама переменная, всегда положительны:
$\int \dfrac{t^2 +t + 1}{t\sqrt{ t^2 +t + 1}}\,dt=$
А вот тут самое время подумать о замене, хотя первые два слагаемых практически табличны - корень и логарифм.
Для третьего слагаемого $\int \dfrac{ 1}{t\sqrt{ t^2 +t + 1}}\,dt$ напрашивается дальнейшая замена $u=1/t$, а может быть её и сразу следовало сделать? Но мне так не кажется.И чего-то кушать захотелось.