С верной оговоркой насчёт "но для составных
могут быть другие".
Ближайшее нашёл в
.
Маленький реферат на тему и около.Уравнение
при должных ограничениях можно переписать так:
(1).
Похожее уравнение
можно переписать как
.
Перемножая почленно выражения
и
,
получаем
, или
.
Первое выражение - известное разрешимое уравнение, второе - тождество. Если верно (1), то пара
удовлетворяет уравнению (2), и оба решения следуют из разложения
в непрерывную дробь. Уравнение из темы можно рассматривать как частный случай при
. Или такое:
. Некоторые его решения выражаются последовательностью
. Для вычислений удобно использовать схему из поста выше, но кроме самого факта разрешимости уравнения (2) отсюда мало что следует. Важнее другое: в отличии от уравнения Пелля решения уравнения (2) могут быть не единственны, что не удивительно: условия разрешимости (2) выглядят мене жесткими в сравнении с (1). Вопрос: сколько вообще существует способов представить натуральное
дробью вида
? Ответ находится быстро, если вычесть единицу из обеих частей уравнения
(3).
или
или
. Следовательно, для каждой пары
величина
определена однозначно. Решить уравнение (3), исходя из свойств
- означало бы получить сведения о делимости
. Но можно поставить другую задачу:
исходя из свойств , найти решения (3) с наименьшими , т.е. найти такие пары
, для которых
.
Пусть для некоторого
выполняется
. Тогда для всех
верно
, и должно выполняться
или
или
. Разлагая последнее выражение в непрерывную дробь, получаем последовательность нужных значений
, а значит и
.
Сделаем преобразования:
. В знаменателе последней дроби - целое число. Обозначив его
, получаем кв. иррациональность в приведенном виде:
Две первые дроби разложения имеют вид
, и последовательность
определена:
Переменная
- вспомогательная и нужна только для вычисления
по формуле
. Попробуем получить
напрямую:
И так, некоторые решения уравнения (3) с наименьшими
можно получить из последовательности дробей
где
удовлетворяет условию
,
, последовательность
- результат разложения иррациональности
в непрерывную дробь. Алгебраическая сумма в числителе не противоречит предыдущим предложениям, привнося варианты решений. Значения
определены формулой
, а также следуют непосредственно из
-го шага самой процедуры разложения (знаменатель новой дроби после сокращения***). Для
, выбирая
в качестве
, получаем разложение
и соответствующие решения:
По сути, это некий альтернативный способ получения маленьких квадратичных вычетов по
с соответствующими квадратами, предполагающий наличие информации о делителях
. Вместо натурального
можно подставить рациональное
и провести аналогичные преобразования, обобщив заодно полученный результат: некоторые решения уравнения
с наименьшими
можно получить из последовательности дробей
где
удовлетворяет условию
,
, последовательность
- результат разложения иррациональности
в непрерывную дробь (предполагается
). Значения
определены формулой
, а также следуют непосредственно из
-го шага самой процедуры разложения (знаменатель новой дроби после сокращения). Для пропорциональных решений, полученных таким способом, имеется ограничение: коэффициент пропорциональности
.
Можно добавить, что описанная схема легко продолжается на степени
, но если сложности, возникающие при разложении иррациональности
еще преодолимы, то проблема роста последовательности
сохраняется всегда.
Остаются вопросы применимости и полноты, т.е. любое ли решение может быть получено таким способом? Скорее всего нет. Тройку
, указанную
ИСН, удается получить, при
из пропорциональной дроби
. А при
что-то не видать (мало квадратов
).
Пожалуй и всё.
***
Совпадение этих последовательностей - полная для меня неожиданность. Не знаю как доказать. Может просто.