Геометрическая задача на тему "Дифференциальные Уравнения"

[Antistas]

Кривая $y=$ф(х) проходит через точку (1,2). Каждая касательная к этой кривой пересекает прямую у=1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Найти кривую $y=$ф(х).

Вот то что придумал:
$y=f'(x_0)x+y_0-f'(x_0)x_0$ -уравнение касательной

точка касательной С (2$x_0$,1)
y=1

$1=f'(x_0)x+y_0-f'(x_0)x_0$

$1-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

$\frac{1-y_0+f'(x_0)x_0}{f'(x_0)}=x$

$\frac{1-y_0}{f'(x_0)}+x_0=2x_0$

$1-y_0=f'(x_0)x_0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x_0}-\frac{y_0}{x_0}$ или $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}-\frac{y}{x}$ - не знаю , и тогда...

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac1x$

помогите, что делать дальше??

[ИСН]

До диффура не читал. Дальше - перейти к поиску функции (y-1), для неё он как-то лучше выглядит.

[paha]

Откуда это:

Antistas в сообщении #319743 писал(а):

$1=f'(x_0)x+y_0-f'(x_0)x_0$

?


Запишите условие

Antistas в сообщении #319743 писал(а):

пересекает прямую у=1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания

правильно... где точка касания-то?

[Antistas]

paha в сообщении #319827 писал(а):

Откуда это:

Antistas в сообщении #319743 писал(а):

$1=f'(x_0)x+y_0-f'(x_0)x_0$

?

Подставили y=1 в уравнение касательной.

Запишите условие

Antistas в сообщении #319743 писал(а):

пересекает прямую у=1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания

правильно... где точка касания-то?

то есть если была точка касания B($x_0,y_0$) то эта точка С имеет координаты ($2x_0,1$)

[ИСН]

Сделал усилие и прочитал до диффура. Диффур правильный.

[Antistas]

Ну так подскажите плиз...

Пробовал по разному решать у меня эта кривая получается прямой, однажды вышло тока что это
$y=-3-2xln(x)$ и то построил график, он лежит в 4 четверти и уходит вниз..

[ewert]

Antistas в сообщении #319921 писал(а):

Пробовал по разному решать у меня эта кривая получается прямой, однажды вышло тока что это
$y=-3-2xln(x)$

Если дифур правильный, то решение у него не такое. Кроме того, где произвольная постоянная? (Вы ведь начальное условие пока не использовали)

[ИСН]

Я в прошлом сообщении, кажется, писал, что делать после диффура. Но уже забыл.

[ewert]

paha в сообщении #319827 писал(а):

Откуда это:

Antistas в сообщении #319743 писал(а):

$1=f'(x_0)x+y_0-f'(x_0)x_0$

?

Авторский вывод уравнения в очищенной форме выглядит так:

уравнение касательной: $y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)$;

при подстановке $x=x_0$ должно получаться $y=1$;

$1-y_0=y'(x_0)\cdot x_0;\quad 1-y(x_0)=y'(x_0)\cdot x_0\ (\forall x_0);\quad y'(x)=\dfrac{1-y(x)}{x}$.

[Antistas]

Но решая это уравнение мы получаем что $y=1$...

Или решать его не надо?

[ewert]

Antistas в сообщении #319991 писал(а):

Но решая это уравнение мы получаем что $y=1$...

Не получим. Т.е. получим, но только как очень-очень частный случай.

[Antistas]

тогда что делать с этим уравнением?

$\quad y'(x)=\dfrac{1-y(x)}{x}$

[ewert]

Решать. Это -- уравнение с разделяющимися переменными.

[Antistas]

уравнение $y=1-\frac{1}{x}$ является решением?

[ewert]

Antistas в сообщении #320153 писал(а):

уравнение $y=1-\frac{1}{x}$ является решением?

Не "уравнение", а "функция". Да, является. Но не тем.

Покажите, как искали.