Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

[Гаджимурат]

age в сообщении #318676 писал(а):

Да. Еще бы tapos не мешало доказать вот какое свойство пифагоровых чисел:
Одно из них делится на$3$ , одно на$4$ и одно на$5$ (самостоятельно).

Согласен и ,добавлю,на $7$.Если на $7$ не делятся $xyz$,то обязательно разделится
либо $x+y$,либо $y-x$.
И все сказанное справедливо для любой простой степени $n$,т.как вторая степень также является простым числом.Я об этом уже писал и повторю:если бы ур-ние Ф.
имело решение в целых числах и $xyz$ являлись бы его решением,то :
$x+y-z=x_1$ и $x_1=abcm$ должно делиться на $3,5,7,n^k$. ($k=2$ и более).
Здесь:
$z$ делится на $c$
$x$ делится на $b$
$y$ делится на $a$
Если $xyz$ не делится на $7$,то $y-x$ делится на $7$.
Отличие 2 степени от остальных простых степеней только в том,что если $xyz$ не делятся на $7$,то $x+y$ или $y-x$ делится на $7$,а для остальных простых степеней
только $y-x$ делится на $7$.Присоединяюсь к $age$ и жду от $tapos$ доказательства.

[tapos]

age в сообщении #318405 писал(а):

tapos
Решите уравнение $x^3+y^3=z^2$

Спасибо за вопрос, который позволяет продемонстрировать всю мощь метода поиска наименьших решений. Итак:
Наименьшим решением этого уравнение является тройка чисел: x, x+1, x+2 Доказательство этого факта мы опускаем, так как оно очень подробно изложено выше и, наверное, набило оскомину. По крайней мере, каждый может доказать этот факт самостоятельно.
Подставляем наименьшее решение в исходное уравнение, раскрываем скобки и приводим подобные члены
$x^3 + (x + 1)^3 = (x + 2)^2$
$x^3 + x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$2x^3 + 2x^2 - x - 3 = 0$
Натуральными корнями этого алгебраического уравнения являются делители свободного члена - числа 3. Следовательно, x = 1 или x = 3
Непосредственная подстановка этих значений в алгебраическое уравнение показывает, что имеется единственный натуральный корень x = 1.
Таким образом, наименьшим решением исходного уравнения является тройка чисел 1, 2, 3.
Проверка: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
Метод позволяет найти одно единственное наименьшее решение. Если наименьшего решения нет, то нет никаких других решений. Метод не позволяет найти все решения.
Метод удобно использовать для доказательства наличия или отсутствия свойств у натуральных чисел.

[Виктор Ширшов]

yk2ru в сообщении #319087 писал(а):

Появился: 03/10/06
Сообщения: 246 Виктор Ширшов в сообщении #319036 писал(а):
Деление по Ширшову $3^2+4^2=5^2$ на $5$:
$3(\frac{3}{5})+4(\frac{4}{5})>5$.

Левая часть равна пяти, а не больше. К чему такие ошибки?

Эта "ошибка" к вопросу о целочисленности. Ведь, мусолим мы ВТФ.
А разделил я так, что tapos отдыхает: $\frac{9}{5}+\frac{16}{5}=5$; $3(\frac{3}{5})+4(\frac{4}{5})=5$; $3\cdot {0.6}+4\cdot{0.8}=5$; $1.8+3.2=5$.

[age]

tapos

Цитата:

Таким образом, наименьшим решением исходного уравнения является тройка чисел 1, 2, 3.
Проверка: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
Метод позволяет найти одно единственное наименьшее решение. Если наименьшего решения нет, то нет никаких других решений. Метод не позволяет найти все решения.

Хорошо, а теперь в таком случае уравнение $x^2+y^5=z^2$ или даже $x^2+y^5=z^4$.

[age]

Гаджимурат

Цитата:

Согласен и ,добавлю,на $7$.Если на $7$ не делятся $xyz$,то обязательно разделится либо $x+y$,либо $y-x$.

$24^2+7^2=25^2$

[Виктор Ширшов]

Гаджимурат в сообщении #319192 писал(а):

age в сообщении #318676 писал(а):
Да. Еще бы tapos не мешало доказать вот какое свойство пифагоровых чисел:
Одно из них делится на $3$, одно на $4$ и одно на $5$ (самостоятельно).

Согласен и ,добавлю,на $7$.Если на $7$ не делятся $xyz$ ,то обязательно разделится
либо $x+y$, либо $y-x$

По моему, как минимум, на одно ageво число делится каждая пифагорова тройка: http://axtezius.ucoz.ru/publ/1-1-0-9 (см. таблицу)

[tapos]

1.Ответ для Виктора Ширшова.
Уважаемый Виктор Ширшов!
Степень числа можно изобразить различным способом. Например:
$x^3 = x * x * x = x^2 * x = x * x^2$
Все равенства эквивалентны. Это означает, что мы можем использовать для изображения куба числа любое из равенств. Эти равенства следуют из свойства коммутативности произведения натуральных чисел.
Разделим куб числа на z, получим
$(x^3)/z = (x/z) * x * x = x * (x/z) * x = x * x * (x/z) = (x^2 /z) * x = x^2 * (x/z)$
Все эти равенства эквивалентны в силу коммутативности произведения. Это означает, что куб числа x не уменьшается при делении на число z. Куб числа x изменится на квадрат числа x только при делении на x. Вы же форму записи куба числа $x^2 * (x/z)$ называете снижением степени. У вас снижается только степень числа z, а степени чисел x и y не снижаются.
Аксиомы натурального ряда и свойства коммутативности произведения чисел натурального ряда очень трудно оспорить. Свойством коммутативности не обладают произведения матриц, а произведения натуральных чисел обладают свойством коммутативности.
2.Ответ для Гаджимурата.
Уважаемый господин Гаджимурат!
В настоящей теме мы обсуждаем наименьшие решения уравнения Ферма. Для наименьших решений c - a = 1 и c - b = 2. Как видите, единица может представляться в виде степени, а число 2 равно $2^1$. Мы же ищем наименьшие решения для всех n > 1. Поэтому c - b не может равняться 4, 8 и любой другой степени n > 1. Это не означает, что для других решений (не являющихся наименьшими) c - b не может равняться степени числа, в том числе степени 2.

[Виктор Ширшов]

tapos в сообщении #319705 писал(а):

У вас снижается только степень числа z, а степени чисел x и y не снижаются.

Интересно, а другие как считают

[tapos]

age в сообщении #319322 писал(а):

tapos

Цитата:

Таким образом, наименьшим решением исходного уравнения является тройка чисел 1, 2, 3.
Проверка: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
Метод позволяет найти одно единственное наименьшее решение. Если наименьшего решения нет, то нет никаких других решений. Метод не позволяет найти все решения.

Хорошо, а теперь в таком случае уравнение $x^2+y^5=z^2$ или даже $x^2+y^5=z^4$.

$7^2 + 2^5 = 9^2$
49 + 32 = 81
$7^2 + 2^5 = 3^4$
49 + 32 = 81

[age]

tapos
Имелось в виду наименьшее решение вида $(b,b+1,b+2)$

[age]

tapos

Цитата:

(32)$(m + 1)^n + (m + 2)^n = (m + 3)^n$
Это уравнение можно использовать для доказательства отсутствия наименьшего решения, а, следовательно, для отсутствия решений вообще для n = 4. Сделаем замену переменных m + 2 = p и подставим в уравнение (32)

topic27644.html

[tapos]

age в сообщении #319932 писал(а):

tapos
Имелось в виду наименьшее решение вида $(b,b+1,b+2)$

Для уравнения $x^n + y^n = z^n$ наименьшее решение x, x+1, x+2
Для уравнения $x^2 + y^5 = z^2$ наименьшее решение x+5, x, x+7
Для уравнения $x^2 + y^5 = z^4$ наименьшее решение x+5, x, x+1
Для уравнения $x^3 + y^3 = z^2$ наименьшее решение x, x+1, x+2

[age]

Чем отличается уравнение $x^3 + y^3 = z^2$ от уравнения $x^2 + y^5 = z^2$

[podast]

Виктор Ширшов в сообщении #306621 писал(а):

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Великая теорема (или уравнение) формулируется следующим образом.
Пусть дано уравнение:
(1) $a^n+b^n=c^n$

tapos. Это Диофантово уравнение, которое, как можно видеть, состоит из 3-х натуральных чисел. ВТФ распространялась только на него, а читается она следующим образом: «Ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат, и вообще никакая степень, кроме квадрата, не может быть разложена (нельзя разложить, значит, нельзя поставить знак равенства – В.Ш.) на сумму таких же».

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Таким образом, возникает вопрос о разрешимости обобщенного уравнения Ферма:
$a^n_1+a^n_2...+a^n_{n-1}+a^n_n=c^n$

К ВТФ это уравнение, состоящее из $>3$ натуральных чисел, никакого отношения не имеет.
В суть Вашего доказательства не вникал: это сделают другие.

К сведению, уравнение с неизвестными больше 3 в степени больше 2 элементарно решается в целых положительных (натуральных) числах!!! И этому есть доказательство.

[age]

tapos

Цитата:

Таким образом, возникает вопрос о разрешимости обобщенного уравнения Ферма:
$a^n _1 + a^n _2 + … + a^n _{n-1} + a^n _n = c^n$
При каких натуральных показателях степени n сумма n чисел в n – й степени равна n – й степени натурального числа. Решений для n = 2 существует бесконечно много. Для n = 3 существует, по крайней мере, единственное решение: 3, 4, 5, 6. Для остальных показателей степени о решениях ничего не известно.

$95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$