дифференциальное уравнение

[Ales]

ewert в сообщении #316270 писал(а):

да, провал. Граница-то периодична, да только не факт, что непрерывна (в смысле нигде не уходит на бесконечность). И, судя по всему, ниоткуда её непрерывность не выведешь, может-таки уходить. Хотя и контрпример так просто не построить (для не в принципе периодичных везде и всюду семейств траекторий).

А вот стоит только отвлечься от назойливой границы, как факт становится довольно очевидным (скорее всего, автор так его и задумывал). Если $x(t)$ -- ограниченное решение и $z_k=x(k)$, то последовательность $z_k$ монотонна и притом ограниченна, т.е. сходится к некоему $z^*$. И при этом последовательность решений, выходящих из точек $z_k$ при $t=0$, тоже равномерно ограничена на периоде (ведь в конце-то концов они -- лишь фрагменты того самого, изначально ограниченного решения). И, следовательно, предел этой последовательности решений -- тоже решение, причём ограниченное.

Позволю себе немного добавить к Вашему решению:
последовательность $z_k=x(k)$ сходится к $z^*$,
сдвинемся вперед на 1 времени, получим, что $z_k=x(k)$ сходится к сдвинутой $z^*$,
значит $z^*$ сохраняется при сдвиге, это неподвижная точка отображения Пуанкаре, через нее проходит периодическое решение - цикл.

[VoloCh]

н-да, я перепутал... условия на $f$ казались сильнее (намного). А так не понятно... что делать, например, с $f(t,x)=(1+0,4\sin 2\pi t)\cdot e^{-x^2}$?

[ewert]

VoloCh в сообщении #319527 писал(а):

что делать, например, с $f(t,x)=(1+0,4\sin 2\pi t)\cdot e^{-x^2}$?

А ничего не делать, решать. Переменные-то разделяются. Получается семейство монотонных неограниченно продолжаемых вправо и влево решений, каждое из которых уходит на плюс бесконечность вправо и на минус бесконечность влево.

[VoloCh]

ewert в сообщении #319553 писал(а):

VoloCh в сообщении #319527 писал(а):

что делать, например, с $f(t,x)=(1+0,4\sin 2\pi t)\cdot e^{-x^2}$?

А ничего не делать, решать. Переменные-то разделяются. Получается семейство монотонных неограниченно продолжаемых вправо и влево решений, каждое из которых уходит на плюс бесконечность вправо и на минус бесконечность влево.

то есть эта функция не удовляетворят условиям задачи? Ограниченного решения нет?

[ewert]

Не удовлетворяет.

А если Вы измените знак под экспонентой на противоположный, то тем более не удовлетворит -- каждое решение будет уходить на бесконечности за конечное время (и влево, и вправо).