дифференциальное уравнение

[terminator-II]

Имеется скалярное дифференциальное уравнение

$$\dot x=f(t,x),\quad f(t+1,x)=f(t,x),\quad t\ge 0,\quad x\in \mathbb{R}.$$

Функция $f$ удовлетворяет в $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$ стандартным условиям теоремы существования и единственности Коши
Доказать, что если это уравнение имеет ограниченное решение то оно имеет $1-$периодическое решение.

[ewert]

Просто по теореме о непрерывности решения по начальным данным. Пусть $y=g(z)$ -- это значение в единице решения, равного $z$ в нуле. Это -- непрерывная функция. Если она пересекается с прямой $y=z$, то соответствующая точка пересечения порождает (как начальное условие) периодическое решение. Если нет, то она лежит или выше, или ниже прямой. В первом случае любое решение уходит на плюс бесконечность, во втором -- на минус.

[VoloCh]

... и тогда можно считать, что $x\in\mathbb R^n$...

[terminator-II]

ewert в сообщении #314622 писал(а):

Просто по теореме о непрерывности решения по начальным данным. Пусть $y=g(z)$ -- это значение в единице решения, равного $z$ в нуле. Это -- непрерывная функция. Если она пересекается с прямой $y=z$, то соответствующая точка пересечения порождает (как начальное условие) периодическое решение. Если нет, то она лежит или выше, или ниже прямой.

ok

ewert в сообщении #314622 писал(а):

В первом случае любое решение уходит на плюс бесконечность, во втором -- на минус.

непонятно

[ewert]

terminator-II в сообщении #314639 писал(а):

непонятно

Да просто по целочисленным итерациям уходит. Правда, это ещё не значит, что уходит по всем точкам (я, строго говоря, не знаю, гарантировано ли это, лень), но это и не нужно.

[terminator-II]

ewert в сообщении #314647 писал(а):

Да просто по целочисленным итерациям уходит.

это понятно, что по целочисленным итнрациям, непонятно почему уходит

[ewert]

terminator-II в сообщении #314649 писал(а):

это понятно, что по целочисленным итнрациям, непонятно почему уходит

А куда ей (последовательности) деться-то, коли она монотонна?... Если б она вдруг оказалась ограниченной, то в силу непрерывности появилась бы точка пересечения.

(если Вы намекаете, что это -- тоже некая теоремка, то да; но, во-первых, она очевидна, а во-вторых, не имеет отношения к дифурам)

[VoloCh]

Имхо надо сформулировать условия в терминах правой части. Явно. В виде каких-то оценок, и свойств (скажем, непрерывности по $x$, измеримости по $t$). Тогда можно доказать существование такого отрезка нач. данных, что функция ewertа (называемая оператором сдвига по тракториям ДУ) будет иметь разные знаки на концах. А в энмерном случае это будет значить, что вращение этого опаратора на некотором шаре (ну, или кто любит, индекс Пуанкаре) отлично от нуля. Значит, есть неподвижная точка.

[terminator-II]

ewert в сообщении #314652 писал(а):

terminator-II в сообщении #314649 писал(а):

это понятно, что по целочисленным итнрациям, непонятно почему уходит

А куда ей (последовательности) деться-то, коли она монотонна?... Если б она вдруг оказалась ограниченной, то в силу непрерывности появилась бы точка пересечения.

(если Вы намекаете, что это -- тоже некая теоремка, то да; но, во-первых, она очевидна, а во-вторых, не имеет отношения к дифурам)

Мне вот что пришло в голову. А почему отображение $g$ вообще должно быть определено на $\mathbb{R}$. Из условия никак не следует, что все решения продолжаемы вплоть до $t=1$. И по-моему это подмывает Ваше рассуждение. Или нет? (У меня есть вариант доказательства, который на глобальную определенность $g$ не опирается)

[VoloCh]

terminator-II, то есть в вашем услоивии $f$ такая странная штука, что продолжаемое на $[0,1]$ решение (хотя бы одно) есть, но продолжимости вообще нет. И при этом еще есть единственность? Так? Почему-то кажеца, что такое быть не могет!

[terminator-II]

может, господин студент, может

[ewert]

terminator-II в сообщении #314733 писал(а):

И по-моему это подмывает Ваше рассуждение. Или нет?

Да, подподмывает. Подумаем (сейчас неохота).

[terminator-II]

ewert в сообщении #314774 писал(а):

Подумаем (сейчас неохота).

По-моему, будет правильней, если не Вы подумаете, а, например, VoloCh

[ewert]

А я вот из прынцыпу всё-таки подумал.

Если есть хоть одно ограниченное (вправо для определённости) решение, то все решения делятся на три категории (некоторые из которых могут оказаться пустыми):

1). Ограниченных (вправо) снизу, но не ограниченных сверху.

2). Ограниченных и снизу, и сверху.

3). Ограниченных сверху, но не ограниченных снизу.

При этом области "фазового пространства" (не люблю термин ввиду двусмысленности), зачерчиваемые траекториями из этих категорий -- дизъюнктны, причём первая лежит выше второй, а вторая -- выше третьей.

При этом все три области трансляционно симметричны, ввиду периодичности задачи.

Если фактически наблюдается только центральная, а две другие отсутствуют как класс, то утверждение доказано ранее.

Если же есть хотя бы две из трёх, то граница их раздела -- и есть периодическое решение. Как-то так.

------------------------------------------------
тут есть один логический провал; подумаю дальше, как его заполнить

[ewert]

да, провал. Граница-то периодична, да только не факт, что непрерывна (в смысле нигде не уходит на бесконечность). И, судя по всему, ниоткуда её непрерывность не выведешь, может-таки уходить. Хотя и контрпример так просто не построить (для не в принципе периодичных везде и всюду семейств траекторий).

А вот стоит только отвлечься от назойливой границы, как факт становится довольно очевидным (скорее всего, автор так его и задумывал). Если $x(t)$ -- ограниченное решение и $z_k=x(k)$, то последовательность $z_k$ монотонна и притом ограниченна, т.е. сходится к некоему $z^*$. И при этом последовательность решений, выходящих из точек $z_k$ при $t=0$, тоже равномерно ограничена на периоде (ведь в конце-то концов они -- лишь фрагменты того самого, изначально ограниченного решения). И, следовательно, предел этой последовательности решений -- тоже решение, причём ограниченное.