Множество мощности континуум.

[green_Ekatherine]

Задание: Доказать, что множество всех последовательностей, состоящих из 0 и 1, имеет мощность С.
Моё доказательство:
1. Поставим в соответствие каждой последовательности натуральное число (переводим двоичную последовательность в десятеричное число, например ${00...01}->1; {00...11}->2;...$), нулевой последовательности ставим в соответствие 0. Но тогда у меня получится счетное множество? Эквивалентность с множеством натуральных чисел...
2. В примере нашла такой метод: каждой последовательности ${ai1,ai2,...,ain,...}<-->дробь ai=0,ai1ai2ai3...ain...$ Тогда каждой последовательности будет соответствовать некоторое число, лежащее на полуинтервале [0,1), а он, как известно, имеет мощность множества континуума...
Вопрос: нужен ли первый шаг? Если не нужен, как построить соответствие между мн-вом всех последовательностей из 0 и 1 и множеством мощности континуума (0,1)? И правильно ли я все формулирую (препод цепляется к каждому слову...)?

[AD]

green_Ekatherine в сообщении #318111 писал(а):

например {00...01}->1; {00...11}->2;...

{0101010101...}->куда?

-- Вт май 11, 2010 21:16:55 --

green_Ekatherine в сообщении #318111 писал(а):

Вопрос: нужен ли первый шаг?

Он неверен, поэтому не нужен.

-- Вт май 11, 2010 21:18:18 --

Категорически советую написать формулы в $\TeX$е, пока еще можете править сообщения (где-то часик).
Потом будет карантин.

[green_Ekatherine]

Хорошо, какое тогда построить соответствие для доказательства?

[AD]

green_Ekatherine в сообщении #318111 писал(а):

Тогда каждой последовательности будет соответствовать некоторое число, лежащее на полуинтервале [0,1)

Некоторым последовательностям будут соответствовать одинаковые числа. Поэтому здесь лишь доказано, что последовательностей не меньше континуума.

-- Вт май 11, 2010 21:20:40 --

green_Ekatherine в сообщении #318116 писал(а):

Хорошо, какое тогда построить соответствие для доказательства?

[мат-ламер]

Учтите, что у Вас могут быть и бесконечные последовательности.

[green_Ekatherine]

Т.е. мне надо еще доказать, что не больше континуума? Или просто следует взять другое построение?

мат-ламер в сообщении #318119 писал(а):

Учтите, что у Вас могут быть и бесконечные последовательности.

ну так и десятичные дроби могут быть бесконечными

[мат-ламер]

У Вас про дроби в первом посту ничего не говорится. Пробуйте построить соответствие между бесконечными двоичными дробями и отрезком.

[green_Ekatherine]

отрезок [0,1] в двоичной системе счисления? свойства от перехода в другую систему счисления не меняются?

[мат-ламер]

Цитата:

отрезок [0,1] в двоичной системе счисления?

Да. Про другую систему не понял.

[Профессор Снэйп]

Последовательности $\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots$ ставим в соответствие действительное число

$$ \sum_{i=0}^\infty \frac{\varepsilon_i}{2^{i+1}} $$

Получаем взаимно однозначное соответствие между последовательностями, содержащими бесконечно много нулей, и полуинтервалом $[0,1)$. Далее,

$$ |\mathbb{R}| \leqslant |(0,1)| \leqslant |[0,1)| \leqslant |\mathbb{R}| $$

Первое неравенство даётся функцией

$$ f(x) = \frac{\arctg x}{\pi} + \frac{1}{2}, $$

остальные очевидны. Остаётся лишь заметить, что множество последовательностей, содержащих конечное число нулей, счётно.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #318176 писал(а):

Далее,

$$ |\mathbb{R}| \leqslant |(0,1)| \leqslant |[0,1)| \leqslant |\mathbb{R}| $$

Первое неравенство даётся функцией

$$ f(x) = \frac{\arctg x}{\pi} + \frac{1}{2}, $$

остальные очевидны. Остаётся лишь заметить, что множество последовательностей, содержащих конечное число нулей, счётно.

Непонятная логика. Изысканная какая-то.

1. Тщательно выписанные неравенства сверху нужны лишь для того, чтобы проигнорировать одну-две точки. Но это -- факт более простой, чем небрежно упомянутая ниже возможность игнорирования счётного набора точек.

2. А первое неравенство -- это на самом деле равенство. И обосновывать его лучше не арктангенсом, а $f(x)={1\over1-x}-{1\over x}$.

3. И, кстати, первая строчка -- это ссылка на теорему Кантора-Бернштейна. Которая гораздо менее тривиальна, чем всё остальное тут упоминавшееся.

[green_Ekatherine]

Профессор Снэйп, спасибо за соответствие!
с 0 и 1 в полуинтервалах мне можно не заморачиваться, ибо мы доказали и используем что полуинтервалы
$(0,1], [0,1)$ равно как интервал $(0,1)$ имеют мощность котиннума.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #318229 писал(а):

А первое неравенство -- это на самом деле равенство. И обосновывать его лучше не арктангенсом

Арктангенс тоже равенство даёт. Просто нам достаточно неравенства