Полу-кольцо мин плюс

[MGM]

Среди математиков это очевидно, что + min являются парой операций для полу-кольца для действительных чисел?
Собственно мне нужно только сослатся на наличие дистрибутивных и ассоциативных свойств этой пары операций. Может быть ссылки какие, если общеизвестные. Типа фази лоджик или что-то такое.

[paha]

Маслов, Литвинов... гугл... тропическая геометрия

[Профессор Снэйп]

Свойства типа

$$ \min \{ a + b, a + c \} = a + \min \{ b,c \}? $$

Они все выводятся элементарнейшим образом. Зачем какие-то ссылки? Выведите их на бумажке и используйте без всяких дополнительных ссылок! Если в каком-то свойстве сомневаетесь, пишите сюда, мы проверим

[mkot]

paha в сообщении #317839 писал(а):

Маслов, Литвинов... гугл... тропическая геометрия

+ идемпотентный анализ

[Профессор Снэйп]

mkot в сообщении #318157 писал(а):

идемпотентный анализ

Що эта за зверь такой?

MGM в сообщении #317725 писал(а):

Типа фази лоджик

При чём тут фази лоджик? Или просто звучит прикольно?

Кстати, что такое полукольцо?

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #318205 писал(а):

Кстати, что такое полукольцо?

Из стандартного набора аксиом ассоциативного кольца удаляем разрешимость уравнений $x+a=b$ и добавляем поглощающее свойство нуля относительно умножения:

Алгебраическая система $<R,\ +,\ \cdot >$ называется полукольцом, если
1) $<R,\ + >$ - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом $0$,
2) $<R, \cdot >$ - полугруппа
3) $x(y+z)=xy+xz,\ (y+z)x=yx+zx$
4) $0\cdot x=x\cdot 0=0$

Ещё бывают квазикольца, но здесь нет общепринятой аксиоматики. Например, А.И. Мальцев обобщал понятие кольца до квазикольца, отказываясь не только от ассоциативности умножения, но и заменяя при этом коммутативность сложения и законы дистрибутивности на некоторые их обобщения.

[Профессор Снэйп]

А что от нас хотят в этой теме? Плюс --- умножение, минимум --- сложение или наоборот?

-- Ср май 12, 2010 11:02:25 --

Наоборот, конечно. У минимума нейтрального элемента нет и быть не может!

-- Ср май 12, 2010 11:03:11 --

Тогда почему полукольцо, а не кольцо, раз кольца и полукольца различаются лишь в сложении?

-- Ср май 12, 2010 11:03:49 --

Или может там $+\infty$ добавляют?

[mkot]

Профессор Снэйп в сообщении #318205 писал(а):

mkot в сообщении #318157 писал(а):

идемпотентный анализ

Що эта за зверь такой?

http://mi.mathnet.ru/mz539

Профессор Снэйп в сообщении #318219 писал(а):

Или может там $+\infty$ добавляют?

ага

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #318219 писал(а):

Тогда почему полукольцо, а не кольцо, раз кольца и полукольца различаются лишь в сложении?

Потому что полугруппа, а не группа по сложению.

[Профессор Снэйп]

Так действительные числа по сложению группу образуют.

[AKM]

Видимо, речь идёт о полудействительных числах. С полунейтральным, естессно, элементом.

[AD]

Не образуют как раз потому, что бесконечность добавили.

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #318402 писал(а):

Так действительные числа по сложению группу образуют.

Дык, сложение - это $\min$, а умножение - $+$, сами же писали.

Нейтрального элемента в аксиомах полукольца в принципе можно и не требовать - пусть выполняется всё остальное. Из каждого такого "недополукольца" полукольцо получить очень просто - надо добавить нейтральный элемент внешним образом. Вы этот добавленный нейтрал обозначили $+\infty$.

[MGM]

Профессор Снэйп в сообщении #318205 писал(а):

mkot в сообщении #318157 писал(а):

идемпотентный анализ

Що эта за зверь такой?

MGM в сообщении #317725 писал(а):

Типа фази лоджик

При чём тут фази лоджик? Или просто звучит прикольно?

Кстати, что такое полукольцо?

я поначалу тоже слепил аппендикс. С подробным разбором свойств пары мин плюс.
Для доказательсва своего алгоритма.
Ревьюер (дай ему Бог здоровья долголетия и достатка) привёл более красивое доказательсво,
где ссылается на полукольца.
Это сыкономит мне место в статье.
Сделает её более читаемой, и звучит математически корректно:)
То есть, если, к примеру я пишу: применяя ассоциативный и дистрибутивные свойства этой пары операций, должен, вроде показать, что это так.
А если я пишу - известно!!!, что пара образует для действительных чисел полукольцо, а следовательно для неё выполняются свойства....
Звучит убаюкивающе на не совсем математически подкованных технарей из Computer Vision:)
И они не требуют уже никаких других доказательств.

[Профессор Снэйп]

MGM в сообщении #320214 писал(а):

А если я пишу - известно!!!, что пара образует для действительных чисел полукольцо, а следовательно для неё выполняются свойства....

"Известно" в данном случае подразумевает, что любой мало-мальски грамотный человек способен выписать аксиомы полукольца и путём достаточно тривиальных рассуждений убедиться, что они выполняются. Грубо говоря, очевидные вещи "известны", а "очевидные" --- это такие, доказательство которых не вызывает затруднений.