Афинное отображение. Высшая алгебра и геометрия.

[NEXUS]

Здравствуйте! Очень нужна ваша помощь.

Нужно доказать, что всякое отображение, сохраняющее отнонешение трех точек, является аффинным.

Много мыслей и попыток это решить было у меня, я уже выяснил, что простое отношение трёх точек - барицентрическая комбинация. Как мне кажется, нужно как-то использовать связь с барицентрическими координатами, но ничего дельного не выходит( Видимо нужна какая-то хитрая идея доказательства.

Вообще, утверждение является обратным по отношению к хорошо известному более общему факту:

Афинное отображение сохраняет барицентрические комбинации.

Нам же нужно доказать что если барицентрические комбинации вообще,и в данном случае трёх точек, сохраняются, то отображение является афинным.

Заранее огромное спасибо за любые советы и указания. Идеальный вариантом была бы ссылка на учебник где есть доказательство этого факта, я честно искал, но практически ничего не нашел. Но тем не менее мне интересно всётаки хотя-бы "почти" самому это доказать)

[мат-ламер]

Встречный вопрос - А как аксиоматически определяется аффинное отображение? И в каком мы пространстве - векторном или аффинном?
Аффинное отображение переводит аффинное множество в аффинное?
(Просто раньше понимал это отображение исключительно как $y=Ax+b$).

[Padawan]

NEXUS
Попробуйте индукцию по размерности пространства. При $n=2$ - тривиально. При $n=3$?

[мат-ламер]

Цитата:

Встречный вопрос - А как аксиоматически определяется аффинное отображение?

Есть и такое определение - Отображение $T$ называется аффинным, если $T((1-\lambda )x+\lambda y)=(1-\lambda )Tx+\lambda Ty. $, где $ x,y\in R^n, \lambda \in R^n $. Лучше исходить из него.

[мат-ламер]

Во-первых, это отображение сохраняет отношение трёх точек. Во-вторых, отображение $A(x)=T(x)-T(0)$ линейно, и, следовательно $T(x)$ можно представить в виде $T(x)=A(x)+T(0)=Ax+b$, что эквивалентно обычному определению аффинного отображения.

[NEXUS]

мат-ламер в сообщении #317690 писал(а):

$T((1-\lambda )x+\lambda y)=(1-\lambda )Tx+\lambda Ty. $

Определение отображения, надо использовать следущее:
$F(P+v) = F(P) + D(v)$ или $F(P) = F(P)F(Q) = D(PQ)$ а на сколько корректо то определение $T((1-\lambda )x+\lambda y)=(1-\lambda )Tx+\lambda Ty. $ для случая если x не из $R^n$?

Padawan в сообщении #317525 писал(а):

Попробуйте индукцию по размерности пространства. При $n=2$ - тривиально. При $n=3$?

А почему при n = 2 тривиально? Как вообще размерность пространства связать с отношением трёх точек на прямой? Мне не очень понятно как это использовать(

Кстати, я забыл сказать в начале, под отношением трёх точек, мы понимаем:

Такое $\lambda$ что если $X$ лежит на прямой ${P}_{0}{P}_{1}$ то $ {P}_{0}X = \lambda X{P}_{1} $

Оказывается есть и другие определения простого отношения, но мне необходимо использовать именно это, наверное.

мат-ламер в сообщении #317522 писал(а):

И в каком мы пространстве - векторном или аффинном?

Речь идёт о произвольном афинном пространстве.

Спасибо отписавшимся, за содействие, очень надеюсь на продолжение вашей помощи!

[paha]

Вы забыли упомянуть, что в определении

NEXUS в сообщении #317795 писал(а):

$F(P+v) = F(P) + D(v)$

отображение $D$ линейно

-- Вт май 11, 2010 00:17:45 --

Итак, если $B=A+v$, $C=A+\lambda v$, то

$F(B)=F(A)+D(v)$, $F(C)=F(A)+\lambda D(v)$

И лучше писать не $D$, а ${\rm d}F$

-- Вт май 11, 2010 00:23:07 --

NEXUS в сообщении #317795 писал(а):

Кстати, я забыл сказать в начале, под отношением трёх точек, мы понимаем:

Такое $\lambda$ что если $X$ лежит на прямой ${P}_{0}{P}_{1}$ то $ {P}_{0}X = \lambda X{P}_{1} $

Именно, если $AC=\lambda AB$, то $F(A)F(C)=\lambda D(v)=\lambda F(A)F(B)$

[Padawan]

NEXUS
А, я просто неправильно понял условие ). Ну хорошо, при $n=1$ -- тривиально. Что при $n=2$ ?

[мат-ламер]

NEXUS. Я вообще-то прикладник, и мне трудно ответить на Ваш вопрос в тех терминах, которыми оперируют чистые математики. В прикладных вопросах часто аффинное пространство не определяется аксиоматически, а всё идёт в векторном пространстве, и в нём рассматриваются аффинные многообразия и отображения. В частности, аффинное отображение определяется либо как

Цитата:

мат-ламер в сообщении #317690 писал(а):

Цитата:

Встречный вопрос - А как аксиоматически определяется аффинное отображение?

Есть и такое определение - Отображение $T$ называется аффинным, если $T((1-\lambda )x+\lambda y)=(1-\lambda )Tx+\lambda Ty. $, где $ x,y\in R^n, \lambda \in R^n $. Лучше исходить из него.

По смыслу это примерно означает, что отображение сохраняет отношение между тремя точками. Второе возможное определение аффинного отображения в векторном пространстве - оно имеет вид $y=Ax+b$, что близко по смыслу приведенному Вами (и как определено у Кострикина во втором томе). Я так понимаю, надо доказать, что из первого определения следует второе и перевести это доказательство на Ваш язык. Если отображение $T$ удовлетворяет первому определению, то

Цитата:

мат-ламер в сообщении #317774 писал(а):

Во-первых, это отображение сохраняет отношение трёх точек. Во-вторых, отображение $A(x)=T(x)-T(0)$ линейно, и, следовательно $T(x)$ можно представить в виде $T(x)=A(x)+T(0)=Ax+b$, что эквивалентно обычному определению аффинного отображения.

Тут, конечно, надобно бы поподробнее, но может Вы и сами справитесь. Вообщем, сложности, что прикладники и теоретики разговаривают на разных языках.