4-вектор плотности заряда и тока

[tpc]

Объясните, пожалуйста, почему плотность заряда и тока преобразуется как 4-вектор.

В стандартное объяснение типа "$\rho \, dV$ = инвариант (где $\rho$ - плотность заряда), поэтому $\rho$ преобразуется ковариантно, и т.п." въехать не могу. Что значит, что $\rho \,dV$ инвариант? Ведь если мы рассмотрим заряд плотности $\rho$ в некотором параллелепипеде объема $dV$ в момент времени t, а затем проведем преобразование Лоренца, то мы, конечно, получим параллелепипед (удлиненный), но потеряем одновременность измерений заряда в точках параллелепипеда...

[AlexNew]

2 обьяснения:
1) физическое: запишите закон сохранения заряда, выполняется в любой СО,
2) формальное: оператор деференцирования ковариантный, значит и 4 ток должен быть 4-вектором.

[lel0lel]

tpc в сообщении #317336 писал(а):

то значит, что $\rho \,dV$ инвариант?

это значит вы читаете плохую литературу, т.к. никакой это не инвариант. Правда в частном случае действительно может выполняться, $\rho dV=\rho^{\, '} dV^{'}$, если заряд покоится в системе связанной с наблюдателем. Выше уже написали, что для того чтобы уравнение сохранения заряда было форм-инвариантным относительно преобразований Лоренца необходимо, чтобы чтобы плотность $\rho$ и ток являлись компонентами контравариантного вектора $(c\rho,\vec{j})$, $\vec{j}=\rho\vec{v}$. Но ради полезной задачки можно и в лоб проделать преобразования.
Для точечного заряда:
$\rho^{'}(x^{'},t^{'})=q\delta(x^{'}-v^{'}\cdot t^{'})=q\delta({x-Vt\over \sqrt{1-{V^2\over c^2}}}-{v-V\over 1-{Vv\over c^2}}\cdot \frac{t-{Vx\over c^2}}{\sqrt{1-{V^2\over c^2}}}})=...\\=\frac{\left(1-{Vv\over c^2}\right)}{\sqrt{1-{V^2\over c^2}}}q\delta(x-vt)=\frac{\left(1-{Vv\over c^2}\right)}{\sqrt{1-{V^2\over c^2}}} \rho(x,t)=\frac{\rho-{Vj\over c^2}}{\sqrt{1-{V^2\over c^2}}} $

[tpc]

Спасибо за пояснения. До меня дошла идея вывода ковариантности плотности заряда-тока из инвариантности $\rho \, dV$.

Движущийся локализованный заряд в пространстве-времени выглядит как бесконечно длинный цилиндр. Его сечение любой плоскостью $t=t_0$ имеет одинаковую площадь, обозначаемую через $dV$. Величина $\rho \, dV$ инвариантна, поскольку в любой инерциальной системе отсчета в любой момент времени $t_0$ суммарное количество заряда $dQ=\rho \, dV$ одно и то же.

Воспользуемся этой инвариантностью. Пусть $dx_i = (dx, dy, dz, c\,dt)$. Тогда $dQ \, dx_i = \rho \, dV \, dt \frac{dx_i}{dt}$. Можно видеть, что $dV \, dt$ инвариантно (из инвариантности объема в пространстве-времени и небольшого геометрического рассуждения), $dQ \, dx_i$ ковариантно, поэтому $\rho \frac{dx_i}{dt}$ ковариантно.

[AlexNew]

Закон сохранения заряда:
$\text{div} \vec{j} =\partial_t \rho$
$\partial_{x} (\rho v_x) + \partial_{y} (\rho v_y) + \partial_{y} (\rho v_z) - \partial_t (\rho v_0) = 0$
или
$\partial_{i} (\rho v_i) = 0 $
здесь
$\rho$ - инвариантная плотность заряда
$v_i$ - 4-скорость
$j_i = \rho v_i$ - 4-вектор плотности тока

[lel0lel]

AlexNew, только закон сохранения заряда исправьте. Всё в одной части пишется.