Задача по функану: спектр оператора правого сдвига

[newnewbie]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей : найти спектр оператора правого сдвига.
С одной стороны, конечно, ясно, это -- круг $|\lambda|\leq1$ и понятно, что точечный спектр пуст. Непонятно что здесь непрерывный спектр, а что остаточный и почему...
Заранее большое спасибо!

[id]

Вы бы сказали, в каком именно пространстве (последовательностей, как я понял); есть различия.

[newnewbie]

В пространстве $l_2$

[id]

Есть такое стандартное упражнение

Цитата:

$\sigma(T) = \sigma(T^*)$, при этом
(i) $\lambda \in \sigma_r(T) \Rightarrow \lambda \in \sigma_p(T^*)$
(ii) $\lambda \in \sigma_p(T) \Rightarrow \lambda \in \sigma_p(T^*)$ либо $\lambda \in \sigma_r(T^*)$
(iii) $\lambda \in \sigma_c(T) \Rightarrow \lambda \in \sigma_c(T^*)$ либо $\lambda \in \sigma_r(T^*)$, причем последняя возможность исключена если $E$ рефлексивно.

Примените его к задаче ( точечный спектр оператора левого сдвига есть единичный открытый диск, при этом точечный спектр прямого переходит в (точечный+остаточный) спектр сопряженного; точечного спектра у оператора правого сдвига нет, поэтому остаточный спектр содержит этот самый открытый диск и так далее. )

[newnewbie]

А можно как-нибудь по определению это сделать? Т.е. рассмотреть замыкание образа $Im(T-\lambda I)$ и определить при каких $\lambda$ это замыкание будет совпадать со всем пространством, а при каких нет.

[ewert]

Этот оператор изометричен, поэтому спектр у него может быть только в круге, а ядро спектра -- только на единичной окружности. Внутренность круга -- это остаточный спектр, т.к. индекс дефекта там равен единице. Вся окружность -- это ядро спектра, т.к. это граница раздела компонент связности с разными индексами дефекта. И этот спектр непрерывен, т.к. точечный спектр пуст.

А если по определению и вручную, то надо просто рассмотреть для каждого $e^{i\theta}$ семейство последовательностей вида $a_n=b_n(\varepsilon)\cdot e^{i\theta n}$, где $b_n(\varepsilon)=N(\varepsilon)\cdot f(\varepsilon n)$, функция $f$ равна нулю в нуле и $N(\varepsilon)$ -- нормировочная постоянная. Ну типа $b_n={\varepsilon^{3/2}n\over(\varepsilon n+1)^2}$. Тогда будет $\|\vec a(\varepsilon)\|\sim\mathrm{const}$ и при этом $\|T\vec a(\varepsilon)-e^{i\theta}\vec a(\varepsilon)\|\to0$ при $\varepsilon\to0$, т.е. любая точка $e^{i\theta}$ действительно принадлежит непрерывному спектру.