Решение в целых числах

[Руст]

Решить в целых числах:
$n^3-2n^2+5n+6+3^n=m^2.$

[juna]

Рискну предположить, что $m=5,n=2$ - единственное решение.

[maxal]

Для четных $n$, число $3^n$ является полным квадратом и поэтому уравнение не имеет решений коль скоро $n^3-2n^2+5n+6\leq 2\cdot 3^{n/2}$, т.е. для $n>12$. Нетрудно проверить, что только $n=2$ дает решение.

Для достаточно больших нечетных $n$, число $\frac{m}{3^{(n-1)/2}}$ является очень хорошим приближением к числу $\sqrt{3}$, а потому обязано быть подходящей дробью для $\sqrt{3}$. В то же время, нетрудно проверить, что знаменатели подходящих дробей для $\sqrt{3}$ не делятся на 3.

[Руст]

maxal писал(а):

Для достаточно больших нечетных $n$, число $\frac{m}{3^{(n-1)/2}}$ является очень хорошим приближением к числу $\sqrt{3}$, а потому обязано быть подходящей дробью для $\sqrt{3}$. В то же время, нетрудно проверить, что знаменатели подходящих дробей для $\sqrt{3}$ не делятся на 3.

Maxal от вас не ждал такого. Несложно привести примеры, когда хорошее рациональное приближение является квадратом.
Тут просто надо проверить по модулю 8 (или даже 4) и сделать вывод m должно быть нечётным, а стало квадрат должен быть 1(mod 8),а величина слева при нечётных n равно 3(mod 8).

[maxal]

Руст писал(а):

maxal писал(а):

Для достаточно больших нечетных $n$, число $\frac{m}{3^{(n-1)/2}}$ является очень хорошим приближением к числу $\sqrt{3}$, а потому обязано быть подходящей дробью для $\sqrt{3}$. В то же время, нетрудно проверить, что знаменатели подходящих дробей для $\sqrt{3}$ не делятся на 3.

Maxal от вас не ждал такого. Несложно привести примеры, когда хорошее рациональное приближение является квадратом.

Где именно я написал, что хорошее рациональное приближение не может быть квадратом?!

Руст писал(а):

Тут просто надо проверить по модулю 8 (или даже 4) и сделать вывод m должно быть нечётным, а стало квадрат должен быть 1(mod 8),а величина слева при нечётных n равно 3(mod 8).

Если бы! При $n=3$ имеем:
$n^3-2 n^2 + 5n + 6 + 3^n=57\equiv 1\pmod 8$

[Руст]

Значит я ошибся при выборе многочлена, я выбирал (собирался выбрать) так, чтобы многочлен по модулю 8 совпал с (n+1)(n+2)(n+3) - который делится на 8 при нечётных n, а 3^n=3(mod 8) при нечётных n. А для чётного подбирал, чтобы n=2 было решением.

[незваный гость]

maxal писал(а):

Для достаточно больших нечетных $n$, число $\frac{m}{3^{(n-1)/2}}$ является очень хорошим приближением к числу $\sqrt{3}$, а потому обязано быть подходящей дробью

Не могли бы Вы пояснить это место? Подходящая дробь — наилучшее (в некотором смысле) приближение. Но почему, если мы нашли хорошее приближение, оно обязательно подходящая дробь?

[maxal]

незваный гость писал(а):

Подходящая дробь — наилучшее (в некотором смысле) приближение. Но почему, если мы нашли хорошее приближение, оно обязательно подходящая дробь?

Есть соответствующие теоремы на этот счет. См., например, Теоремы 16, 19 в книжке Хинчина Цепные дроби. Правда, при подробном рассмотрении оказывается, что данной задаче дробь $\frac{m}{3^{(n-1)/2}}$ является все-таки недостаточно хорошим приближением к $\sqrt{3}$ для применения этих теорем.

[Woland]

maxal писал(а):

Для четных $n$, число $3^n$ является полным квадратом и поэтому уравнение не имеет решений коль скоро $n^3-2n^2+5n+6\leq 2\cdot 3^{n/2}$,

А почему? Думал, думал ... но так и не понял. Не могли бы Вы пояснить.

[maxal]

Woland писал(а):

maxal писал(а):

Для четных $n$, число $3^n$ является полным квадратом и поэтому уравнение не имеет решений коль скоро $n^3-2n^2+5n+6\leq 2\cdot 3^{n/2}$,

А почему? Думал, думал ... но так и не понял. Не могли бы Вы пояснить.

Если указанное неравенство справедливо, то
$n^3-2n^2+5n+6+3^n\leq 2\cdot 3^{n/2}+3^n < (3^{n/2}+1)^2.$
Таким образом, число $n^3-2n^2+5n+6+3^n$ заключено между двумя соседними квадратами $(3^{n/2})^2$ и $(3^{n/2}+1)^2$ и поэтому само не может быть квадратом.

[Woland]

maxal писал(а):

Woland писал(а):

maxal писал(а):

Для четных $n$, число $3^n$ является полным квадратом и поэтому уравнение не имеет решений коль скоро $n^3-2n^2+5n+6\leq 2\cdot 3^{n/2}$,

А почему? Думал, думал ... но так и не понял. Не могли бы Вы пояснить.

Если указанное неравенство справедливо, то
$n^3-2n^2+5n+6+3^n\leq 2\cdot 3^{n/2}+3^n < (3^{n/2}+1)^2.$
Таким образом, число $n^3-2n^2+5n+6+3^n$ заключено между двумя соседними квадратами $(3^{n/2})^2$ и $(3^{n/2}+1)^2$ и поэтому само не может быть квадратом.

Как же я сам до этого не додумался.... Всё так просто. Спасибо.

[juna]

Мне кажется, что рассуждению maxala для нечетных $n$ можно придать более строгий вид, эксплуатируя идею для четных.
Число $3^n$ находится между $([\sqrt{3^n}])^2$ и $([\sqrt{3^n}]+1)^2$.
Для достаточно больших $n$ значение выражения $3^n+n^3-2n^2+5n+6$ мало отличается от $3^n$, поэтому вряд ли доберемся даже до ближайшего квадрата $([\sqrt{3^n}]+1)^2$.
Т.е. должно выполняться неравенство $([\sqrt{3^n}]+1)^2-3^n>n^3-2n^2+5n+6$ или откидывая величины меньших порядков должно выполняться $2[\sqrt{3^n}]>n^3$. Графики построенные в Mathcad убеждают в его справедливости начиная с некоторого $n$.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Т.е. должно выполняться неравенство $([\sqrt{3^n}]+1)^2-3^n>n^3-2n^2+5n+6$ или откидывая величины меньших порядков должно выполняться $2[\sqrt{3^n}]>n^3$

Не так все просто. Величина $[\sqrt{3^n}]^2 - 3^n$ может иметь порядок как $\sqrt{3^n},$ и поэтому ее отбрасывать нельзя.

[juna]

Я ошибся. Действительно нельзя так.

Интересно, как же это доказать?
Анализ самой формы, например, приводит к $(n-1)^3+6=m^2-(n+1)^2-3^n$. Ясно, что число слева не может быть разностью двух квадратов, но здесь злополучная $3^n$. А может гипотеза, что нет решений для нечетных неверна?

[juna]

И все-таки наверное можно пренебрегать.