Алгебры с дифференцированием

[Бодигрим]

Можно ли ввести на $\mathbb{C}$ (или на $\mathbb{R}$ ) нетривиальное дифференцирование? Под дифференцированием я имею в виду некоторый оператор $\delta\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, что $\delta(a+b)=\delta a+\delta b$ и $\delta(ab)=(\delta a)b+a(\delta b)$.

Я могу доказать, что нетривиального дифференцирования нет на $\mathbb{Q}$ и на множестве алгебраических чисел $\mathbb{A}$. А как перейти к континууму? Я не придумал, что бы такого сделать с базисом Гамеля, чтобы доказать противоречие или построить пример.

[RIP]

тут надо работать не с базисом Гамеля, а с базисом трансцендентности, грубо говоря. удобнее использовать лемму Цорна. если $x\in\mathbb C$ --- некое трансцендентное число, то на $\mathbb Q(x)$ естественным образом строится нетривиальное дифференцирование (просто считаем $x$ переменной). пользуясь леммой Цорна, продолжаем это дифференцирование на всё $\mathbb C$. тут используется факт, что если $L=K(\theta)$ --- трансцендентное либо сепарабельное алгебраическое расширение (в частности, если характеристика нуль), то любое дифференцирование с $K$ продолжается на $L$. док-во очевидно. подробности есть, например, в "Алгебре" Ленга.

[Бодигрим]

Спасибо.