тут надо работать не с базисом Гамеля, а с базисом трансцендентности, грубо говоря. удобнее использовать лемму Цорна. если

--- некое трансцендентное число, то на

естественным образом строится нетривиальное дифференцирование (просто считаем

переменной). пользуясь леммой Цорна, продолжаем это дифференцирование на всё

. тут используется факт, что если

--- трансцендентное либо сепарабельное алгебраическое расширение (в частности, если характеристика нуль), то любое дифференцирование с

продолжается на

. док-во очевидно. подробности есть, например, в "Алгебре" Ленга.