Пространства Фреше; слабая, сильная и *-слабая замкнутость

[id]

В какой-то из прошлых тем уже вопрошал про теорему Дьедонне-Шварца, в этой будут кое-какие доп. вопросы.

Обозначения: сопряженное пространство к $E$ - через $E'$;
сопряженный оператор к непр. линейному оператору $u: E \to F$ (т.е. действующий на элемент $f \in F$ $f \to f \circ u$) обозначается через $u'$. Известно, что если $E,F$ - ЛВП, то $u'$ будет действовать из $F'$ в $E'$ и будет непрерывным в сильной и *-слабой топологиях.

Цитата:

Теорема:
Пусть $E, F$ - пространства Фреше, т.е. полные метризуемые ЛВП. Пусть $u: E \to F$ - непрерывный линейный оператор. Тогда равносильны
1) $u(E)$ замкнуто в $F$
2) $u'(F')$ *-слабо замкнуто в $E'$

Замечание: известно, что если $E$ - ЛВП, то в нем замыкание и слабое замыкание любого выпуклого множества совпадают. В частности это так для подпространств.

Проблема в том, что мне дано, что $u'(F')$ замкнуто в сильной топологии $E'$ (т.е. в топологии сходимости на ограниченных множества из $E$), а нужно свести ко второму пункту теоремы. Да, если бы была не *-слабая, а просто слабая замкнутость, то я бы воспользовался замечанием выше. Но...

Таким образом, возникает два вопроса
1) Следует ли *-слабая замкнутость из сильной замкнутости и замечания выше.
2) А что будет, если исходной пр-во $E$ монтелевское? Ведь тогда оно вроде как рефлексивно (в смысле Бурбаки, Топологические векторные пространства), а (по крайней мере для нормированных пространств известно что) в этом случае слабая и *-слабая топологии на $E'$ совпадают.

-- Сб май 08, 2010 14:04:59 --

И еще. А не хватило бы для совпадения слабой и *-слабой топологии в сопряженном пространстве $E'$ полурефлексивности исходного $E$, т.е. когда $E$ алгебраически совпадает с $E''$, где $E'$ наделяется сильной топологией?

[terminator-II]

к сожалению не видел темы из которой это выросло, поэтому не могу понять в чем собственно состоит вопрос

[id]

Выросло отсюда, но там в принципе ничего особо важного нет. Постановка вопроса - в первом посте, пункты один и два.

-- Сб май 08, 2010 14:20:53 --

Сама исходная теорема -

Цитата:

Условия а) и б), кажется,частично рассматриваются в теореме в "Ж. Дьёдонне и Л. Шварц. Двойственность в пространствах (F) и (LF)" во втором выпуске "Математики" 1958 года на стр. 101:

Цитата:
Теорема 7:
Пусть $E$, $F$ - два пространства $(\mathcal F)$ и $u$ - непрерывный линейный оператор $E \to F$. Следующие предложения равносильны:
а) $u$ есть сильный гомоморфизм $E$ в $F$
б) $u$ есть слабый гомоморфизм $E$ в $F$
в) $u(E)$ замкнуто в $F$
г) $u'$ есть слабый гомоморфизм $F'$ в $E'$
д) $u'(F')$ слабо замкнуто в $E'$

Но тут *-слабая топология в сопряженном пространстве называется просто слабой, вроде как, они имеют ввиду именно $\sigma(E',E)$. В исходном посте поэтому стоит *-слабая, что привычнее.

-- Сб май 08, 2010 14:26:35 --

А выросло это все дело из рассмотрения оператора, действующего в $\mathcal H(\mathbb C)$ ( т.е. целых функций на плоскости ), которое, как известно, есть монтелевское пространство Фреше.

[terminator-II]

id в сообщении #316834 писал(а):

) Следует ли *-слабая замкнутость из сильной замкнутости и замечания выше.

не следует, фактически это следует из Леммы Банаха, Иосида Функц. Анализ.

id в сообщении #316834 писал(а):

А что будет, если исходной пр-во $E$ монтелевское?

id в сообщении #316834 писал(а):

2) А что будет, если исходной пр-во $E$ монтелевское?

То ответ на первый вопрос будет положителен опятьже по лемме Банаха

[id]

Лемма Банаха - это которая? (я нашел одну в параграфе про теорему Эберлейна-Шмульяна, но оно ж для банаховых пространств, а не Фреше)

[terminator-II]

Ой! ну тогда из того, что я сказал правильной остается только первая часть.
А про пространства Монтеля надо думать отдельно.

[id]

В Бурбаки, ТВП есть результат о том, что монтелевское пространство будет рефлексивным, Гл IV, пар. 3, страница 241.

Полагаю, что тогда слабая и *-слабая топологии будут совпадать; тогда, воспользовавшись замечанием, ...

[terminator-II]

Да действительно.

[id]

А, интересно, полурефлексивности хватит для совпадения слабой и *-слабой топологии в сопряженном? (где полурефлексивность - то, что под этим понимают Бурбаки)

P.S. Так как пространство $\mathcal H(\mathbb C)$, посчитал возможным воспользоваться монтелевским свойством. А вот в общем случае - не знаю.

-- Сб май 08, 2010 15:18:39 --

Так или иначе, думаю, основной вопрос обрел некие очертания...

Спасибо!