Вычислить выражение (комплексные числа)

[p4elka1986]

Нужно вычислить:
Корень из 5 степени. Мне почему-то не поставить никак корень, формула оказывается неправильной... $\sqrt{\frac{{(-\sqrt {12} + 2i)}^2}{16i^{117}}$. С чего начинать? Я путаюсь в вычислении корней

[мат-ламер]

1. Раскройте в числителе квадрат.
2. Представьте его в тригонометрической форме.
3. Упростите знаменатель.

[AKM]

p4elka1986 в сообщении #316211 писал(а):

Нужно вычислить:
Корень из 5 степени.

Корень из пятой степени $\sqrt{\text{\tiny что-то в 5-й степени}}$, или корень пятой степени? Так? $\sqrt[5]{\dfrac{(-\sqrt{12} + 2i)^2}{16i^{117}}}$
$ \sqrt[5]{...} $

[p4elka1986]

$\sqrt[5]{\dfrac{(-\sqrt{12} + 2i)^2}{16i^{117}}}$
Да, такая формула. Почему-то у меня не получалось, я еще не спец по формулам, сложновато еще

[p4elka1986]

Подсократила, получилось:
$\sqrt[5]{\dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2i}}$.

Или нужно совсем разложить:
$\sqrt[5]{\dfrac{1}{2i} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$?

И что с ЭТИМ делать далее? По формуле:
$z = r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$?

Понимаю, что: $\cos\alpha = \dfrac{a}{|z|}$, а $\sin\alpha = \dfrac{b}{|z|}$, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$z = a + bi = |z|(\dfrac{a}{|z|} + i\dfrac{b}{|z|}) = |z|(\cos\alpha + i\sin\alpha)$.
Тогда откуда $r$ берется?
Совсем я в формулах запуталась

[Mitrius_Math]

$\dfrac{1}{2i} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1i}{2i^2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}=- \dfrac{i}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}- \dfrac{\sqrt{1}}{2}i$

А теперь - в тригонометрическую форму.

[AKM]

Mitrius_Math записал Ваше $\dfrac{1}{2\mathrm{i}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ в приличном виде $a+b\mathrm{i}=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}- \dfrac1{2}\mathrm{i}$, откуда теперь видно, что есть $a$, и что есть $b$.
А теперь - в тригонометрическую форму.

-- Пт май 07, 2010 12:02:33 --

А $r$ --- то же самое, что Вы обозначали как $|z|$.

[ИСН]

Никакого $r$ нет на свете. Или, вернее, да, это и есть $|z|$. После слов "Понимаю, что" - правильное описание, ему и следуйте.
А теперь - в тригонометрическую форму.

[ewert]

я жутко извиняюсь, но я жутко подозреваю, что предполагалось найти "хороший" корень. Судя по невнятности исходной постановки задачи. И он есть, да.

[ИСН]

Да уж само собой, не просто так.

[p4elka1986]

Спасибо, что-то я не догадалась домножить на $i$ $\dfrac{1}{2i}$.
Получилось: $|z| = 1$.
Далее: $z = \cos({\frac{7\pi}{6} + 2k\pi}) + i\sin({\frac{7\pi}{6} + 2k\pi})$. Выходит, что $k = 0, 1, 2, 3, 4$. Верно или нет?

[ewert]

Неверно безусловно, т.к. в знаменателяхе уж какая-никакая, а пятёрка обязана присутствовать. Ну и не только поэтому.

[p4elka1986]

$z = \cos(\frac{{\frac{7\pi}{6}} + 2k\pi}{5}) + i\sin(\frac{{\frac{7\pi}{6} + 2k\pi}}{5})$ - так?
А что еще не верно?

[p4elka1986]

Ответ верный? Ответьте, пожалуйста.

[Cave]

Верный.