Многомерные расширения ТФКП

[Time]

Scholium в сообщении #314803 писал(а):

Если я правильно понял, то требуется построить множество точек вида...

Боюсь, что не правильно поняли. Требовалось построить полные аналоги множеств Жюлиа связанные с квадратичной функцией на плоскости двойной переменной. Если делать это тем же самым способом, что считается классическим на комплексной плоскости, то есть, пользоваться определением понятия сходящейся последовательности чисел, то ни в одном из двух обсуждавшихся с Рустом вариантов топологии (покомпонентной сходимости или сходимости по модулю двойных чисел) ничего содержательного не получается в принципе. Такие тривиальные результаты, что представил Руст получал не только он, но и десятки математиков, кто пытался решать эту проблему аналогичными методами.
Мы с Панчелюгами и Малыхиным решили подойти к проблеме с обратной стороны. Известно, что классические множества Жюлиа на комплексной плоскости можно получить не только прямыми итерациями, но и так называемыми обратными. Когда вычисляются корни сперва квадратного уравнения, потом четвертой степени, потом восьмой и т.д. до любой конечной большой. При этом на плоскость наносятся не только сами точки таких корней (сперва - две, потом - четыре, потом - восемь и т.д.), но и отмечаются, если так можно выразиться, напряженности поля в зонах прилегающих к появляющимся точкам корней (ведь эти точки крней можно интерпретировать как точечные источники некоего поля). В этом случае, довольно быстро (не помню точно, на какой именно итерации, но на сотой то, гарантированно) количество точек-корней становится на столько большым, что разрозненные их образы сливаются в линии, проходящие практически по тем самым границам множества Жюлиа, что получаются прямым итерационным методом. Именно этим красивым и эффектным подходом мы и попробовали воспользоваться в случае двойных чисел. Как видите - все получилось именно так, как задумывали. Это, на мой взгляд, говорит о том, что стандартные определения сходимости (покомпонентно или по модулю) на плоскости двойной переменной "не правильные" и не соответствуют истинной природе топологии и метрики пространства связанного с двойными числами. Вот почему я и говорил Русту о наличии "третьего" уже вполне естественного варианта понятия сходимости последовательности двойных чисел, которого пока никто формально математически не ввел. А вместе с этим определением сходимости конкретизируется и соответствующая ему топология. Надо бы такое определение ввести.. На сколько я понимаю, это и есть одна из главных загвоздок в построения такого раздела математики как ТФДП (теория функций двойной переменной), по полной аналогии с ТФКП, которая, собственно, в части перехода от алгебры к анализу, с понятия сходимости последовательности комплексных чисел и начинается. Точно также должно быть и в ТФДП..

Scholium в сообщении #314803 писал(а):

Естественно сразу встает вопрос, а в чем специфика $H_2$? Ведь все то же самое можно делать и в $R^2$

Давайте попробуем и в этом недоразумении поставить точку. Пространство $R^2$, если я правильно понимаю, что Вы под данным символом подразумеваете - представляет собой линейное пространство или аффинное пространство. На нем заданы лишь две операции с векторами: сложение и умножение на скаляр. Умножение векторов при этом не постулируется. Даже в своих "куцих урезанных" формах вроде внешнего или внутреннего произведения, а уж тем более в "полной" форме, типа того, как это делается в пространствах комплексных, двойных, дуальных чисел, кватернионов, антикватернионов, октав, поличисел и др. в алгебрах определение умножения вводится. Если такое полное (или хотя бы урезанное) произведение векторов (чисел) не задано, над данным пространством не определена метрика и не до конца определена топология. Вам нужно довводить это "руками". А в пространствах типа $H_2$, и метрика, и топология появляются автоматически, именно как следствия постулированной бинарной операции умножения. Тут, что бы мы "руками" уже не добавляли, если это что-то не соответствует естественным метрике и топологии - будет как "корове седло". Собственно, именно этим я и объясняю многочисленные неудачи математиков с построением на плоскости двойной переменной предфракталов, которые получились у нас в статье. Они НАВЯЗЫВАЛИ плоскости двойной переменной ту топологию, которая ей самой совсем не свойственна. Именно поэтому и получали разную тривиальную фигню, а не то что нужно.. Попробуйте на комплексной плоскости ввести топологию "от балды". Как Вы думаете, что останется от множеств Жюлиа и Мандельброта на ней?

Scholium в сообщении #314803 писал(а):

Но более интересен вопрос о выборе исходного итерационного соотношения, позволяющего строить различные фрактальные множества. Хотя, в этом направлении ведутся интенсивные работы, и я пока не вижу принципиальной разницы Ваших исследований от уже существующих.

Исходная (затравочная, как я ее называю) функция, как и на комплексной плоскости на двойной плоскости может быть практически любая. Не обязательно квадратичная, просто последняя наиболее исследована и является каноническим примером. Главное, что бы "затравочная" функция на комплекснойй плоскости была аналитической, а на двойной h-аналитической. В этом случае, что предфракталы, что сами фракталы, как предельный случай бесконечной последовательности предфракталов, оказываются на каждом шаге связаны с конформными преобразованиями соответствующего метрического пространства. А конформные преобразования это и есть НЕЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ пространства. Не будь этих симметрий, не видать бы нам гармоничных, красивых, самосогласованных и самоподобных алгебраических фракталов и предфракталов как собственных ушей. Именно поэтому я априори уверен, что все строящееся на пространстве кватернионов, антикватернионов или октав - истинными алгебраическими фракталами не может являться по принципиальным соображениям. Там нет для этого нужного разнообразия нелинейных симметрий, то есть конформных преобразований. А без симметрий не будет и порядка. Хаос наступает уже на самых первых шагах построений. Иное дело на всех поличислах (по крайней мере, невырожденных). Тут и конформная группа со своей бесконечной размерностью всегда наготове, а в случае трех и более измерений появляются еще и новые нелинейные симметрии, связанные уже с инвариантностью не только длин и углов, но тринглов и прочих полиуглов.

Цитата:

Вероятно, вопрос опять упрется в топологию, выбор которой для меня совершенно не тривиален. Если мы используем прямые произведения полей и топологию прямого произведения, то это мне понятно. Но как только мы начинаем манипуляции с другими вариантами топологий, то мне сразу все становится непонятным. Ибо это уже вопрос топологии, а не алгебры поличисел. Но тогда зачем делать акцент на поличислах? Давайте делать акцент на нестандартной топологии стандартных пространств.

Еще раз.. Как только у нас в руках появилась алгебра с постулированным полным произведением всех своих элементов (а на поличислах - так часто еще и делить можно), так метрика и топология (по крайней мере естественные, а не навязываемые непонятно по каким причинам извне) согласованные с этой операцией уже появляются автоматически и от нас единственное, что требуетсяб так это их правильным и полным образом выудить, понять и эффективно использовать. А станете навязывать не то, что в этой алгебре и в соответствующем ей пространстве содержится - получите неразбериху и кашу, а также никогда не выйдете на естественную красоту и гармонию этих алгбр, анализа над ними, соответствующих геометрий и (полагаю в некоторых случаях это практически неизбежно) физики, с ее естественной предрасположенностью к непрерывным симметриям.

Если пытаться искать нестандартные топологии в отрыве от поличисел, то, думаю, и десятка жизней не хватит, что бы набрести на те, которые уже и так перед глазами имеются, только еще не раскрыли всех своих истинных прелестей. Пример с предфракталами на двойных поличислах - тому пример. Попробуйте найти конкретно ту нестандартную топологию, что позволяет получить "наши" с Панчелюгами предффракталы на двойной плоскости, но уже методом прямых итераций (как по классике должно быть) - тогда именно эту топологию и можно будет назвать "родной" и естественной для двойных чисел. Другая для них, скорее всего, после этого никому уже и не понадобится.. Тоже самое и для любой другой конкретной алгебры поличисел (неизморфных друг другу, естественно). Какую бы алгебру поличисел мы не взяли, для каждой нужно в обязательном порядке найти свою единственную естественную метрику (уже финслерову) и соотсвтетсвующую именно ей топологию. По крайней мере, именно так мне это все видится..
Что с Вашей точки зрения здесь "не так"?

Scholium в сообщении #314803 писал(а):

Тем не менее, сама идея фракталов на поличислах мне нравится. Только мне не хочется смешивать алгебру и топологию. Хотелось бы акцентироваться на чем-то одном, либо первом, либо втором.

Хочется Вам или нет, но поличисла нужно принимать такими, как они есть. Именно с теми алгебраическими свойствами, что вытекают из потсулированных законов сложения и умножения, с соответствующей им метрикой, геометрией, симметриями и топологией. Тут все, как говорится, в одном флаконе. И ничего ни убавить, ни прибавить. Мне довольно часто попадались работы по поличислам, в которых авторы пытались "навязывать" этим алгебрам желаемые ими геометрии (в частности, так поступал Олариу и Елисеев), ничего хорошего из этого не может получится. Ну, это примерно тоже самое, как если б алгебре комплексных чисел начать навязывать двумерную геометрию галилеева пространства, а то, например, финслерову с третьими степенями метрической функции. Понравится это комплексной плоскости, как Вы думаете и что из этого может получиться? Тоже самое, думаю, касается и топологии..

Цитата:

Да, среди списка литературы Вашей статьи, я заметил интересную для меня книгу: «Фракталы и хаос в динамических системах» Р. Кроновера. Я последнее время не равнодушен к хаосу и уже думал над идеей применить стохастические методы к построению сложных фракталов. Так что, я уже скачал эту книгу и думаю, мне будет интересно ее почитать.

При построении сложных фракталов у Вас, как минимум, два сильно различных по своим последствиям принципиальных пути. Строить такие фракталы чуть ли не "от балды", беря непонятные исходные объекты без четких критериев к их алгебраическим, метрическим и топологическим свойствам, или опереться на фундаментальные симметрии, имеющие, кроме всего прочего бесконечное разнообразие. Лучше всего последние себя чувствуют, как мне кажется, внутри алгебр, анализа и пространств связанных с поличислами. Если заниматься фракталами и предфракталами связанными именно с ними и не забывать, что именно симметрии должны тут играть роль первых скрипок - что бы Вы не построили, всегда будет красиво и гармонично, если, конечно, не наделали банальных ошибок и не поставили свои желания выше естественных возможностей конкретных самодостаточных математических объектов.

[Руст]

Цитата:

Однако, что бы таковой оказалась точка начала координат - не верю.

Математика - не предмет веры. Точка $(\frac{1-\sqrt{1-4c_1}}{2},\frac{1-\sqrt{1-4c_2}}{2})$ является пределом последовательности $x_{1,n+1}=x_{1,n}^2+c_1,x_{2,n+1}=x_{2,n}^2+c_2$ при $(c_1,c_2)$ близком к (0,0) и $|x_{1,0}|<\frac{1+\sqrt{1-4c_1}}{2}, |x_{2,0}|<\frac{1+\sqrt{1-4c_2}}{2}$. Когда одно из неравенств выполняется в обратную сторону последовательность сходится к бесконечности независимо от топологии. Поэтому множество Жюлиа, являющейся границей множества тех значений $(x_{1,0},x_{2,0})$, для которых имеется сходимость к бесконечности совпадает со сторонами этого квадрата. Когда $c_1=0=c_2$ этот квадрат имеет вершины $(\pm 1,\pm 1)$ через них проходит гипербола (ы) $|x_1x_2|=1$. Когда начальная точка взята внутри квадрата по прежнему пределом последовательности (независимо от топологии) является $(0,0)$. В Евклидовой топологии если начальное значение взята за пределами этого квадрата по прежнему последовательность уходит в бесконечность. Однако, в гиперболической топологии, для точек внутри гиперболы $|x_{1,0}x_{2,0}|<1$ имеется сходимость к $(0,0)$ даже при уходе одной координаты в бесконечность за счет быстрой сходимости к нулю по другой координате (можно назвать условной сходимостью, имеется сходимость по гиперболической норме).
Конечно такие последовательности можно назвать и сходящими к бесконечности (одновременно со сходимостью к нулю из-за не хаусдорфовостью топологии) Это по сути является способом компактификации для гиперболической топологии, т.е. определением базы окрестностей для бесконечной точки. В этом смысле гипербола для (0,0) является выбором определенного вида компактификации. Такая условная сходимость имеется только в случае $c_1c_2=0$. Когда только один из них ноль, то остается одна часть гиперболы, точнее она уже не гипербола, а кривая близкая к гиперболе при малых значениях параметра.

Цитата:

В таком случае, это я запутался. Когда прошлый раз понял Ваше пояснение как предпочтение работать в каноническом ортонормированном базисе, приводящем в случае двойных чисел к метрике в виде разности двух квадратов компонент. Кстати, не объясните, почему Вам именно такие "ортонормированные" базисы не нравятся? Физики, наоборот, как раз от таких стараются не отходить. Для них базисы из делителей нуля - нефизичны и неудобны.

Базис из делителей нуля можно представить как базис из светового конуса. Пенроуз в своей твисторной программе первичным считает именно световые конуса.
То что с математическиой точки зрения они более удобны (разложение функций по компонентам) думаю и вы согласны.

Цитата:

Для практических целей, все равно, ведь пользуются не самими фракталами (в их, так сказать, абсолютно точном виде), а именно предфракталами. Это можно сравнить с практическим использованием иррациональных и трансцендентных чисел. Если нужно посчитать конкретное значение - используют, в частности, не точные значения Пи или $e$, а их приближенные значения, обрывая бесконечную дробь на том или ином шаге. Что мешает точно также относиться и к предфракталам?

Цитата:

Нечего.

Цитата:

Кроме того, Вы так и не уточнили своего странного утверждения на счет отсутствия топологии в построении предфракталов. Не расшифруете, что и как Вы под этим понимали? И что же тогда позволяет получать на плоскости комплексной и двойной переменных в качестве предфракталов на разных итерациях, сперва окружности и гиперболы, а потом заменяющие их эллиптические и гиперболические кривые? Как такое могло бы быть без метрики и топологии?

Мы строим области притяжения бесконечной точки как монотонную последовательность. Главное тут не выбор сходящийся последовательности, а чтобы он сходился именно к искомому пределу (не остановился раньше для чисел).

[Scholium]

Time писал(а):

Боюсь, что не правильно поняли. Требовалось построить полные аналоги множеств Жюлиа связанные с квадратичной функцией на плоскости двойной переменной. Если делать это тем же самым способом, что считается классическим на комплексной плоскости, то есть, пользоваться определением понятия сходящейся последовательности чисел, то ни в одном из двух обсуждавшихся с Рустом вариантов топологии (покомпонентной сходимости или сходимости по модулю двойных чисел) ничего содержательного не получается в принципе. Такие тривиальные результаты, что представил Руст получал не только он, но и десятки математиков, кто пытался решать эту проблему аналогичными методами.

В литературе сплошь и рядом для двойных чисел используется обычная евклидова норма. А модуль используется только для характеристики близости к делителям нуля и как норма не применяется. Двойные числа это не прямая сумма, а линейная оболочка, поэтому топология прямой суммы там возможна, но не кажется естественной. В $\mathbb{C}$ модуль и квадратичная норма совпадают, а в $\mathbb{H}_2$ нет. «Тривиальные результаты» могут быть вызваны отказом от квадратичной нормы.

Time писал(а):

Мы с Панчелюгами и Малыхиным решили подойти к проблеме с обратной стороны. Известно, что классические множества Жюлиа на комплексной плоскости можно получить не только прямыми итерациями, но и так называемыми обратными. Когда вычисляются корни сперва квадратного уравнения, потом четвертой степени, потом восьмой и т.д. до любой конечной большой. При этом на плоскость наносятся не только сами точки таких корней (сперва - две, потом - четыре, потом - восемь и т.д.), но и отмечаются, если так можно выразиться, напряженности поля в зонах прилегающих к появляющимся точкам корней (ведь эти точки крней можно интерпретировать как точечные источники некоего поля). В этом случае, довольно быстро (не помню точно, на какой именно итерации, но на сотой то, гарантированно) количество точек-корней становится на столько большым, что разрозненные их образы сливаются в линии, проходящие практически по тем самым границам множества Жюлиа, что получаются прямым итерационным методом. Именно этим красивым и эффектным подходом мы и попробовали воспользоваться в случае двойных чисел. Как видите - все получилось именно так, как задумывали. Это, на мой взгляд, говорит о том, что стандартные определения сходимости (покомпонентно или по модулю) на плоскости двойной переменной "не правильные" и не соответствуют истинной природе топологии и метрики пространства связанного с двойными числами. Вот почему я и говорил Русту о наличии "третьего" уже вполне естественного варианта понятия сходимости последовательности двойных чисел, которого пока никто формально математически не ввел. А вместе с этим определением сходимости конкретизируется и соответствующая ему топология. Надо бы такое определение ввести.. На сколько я понимаю, это и есть одна из главных загвоздок в построения такого раздела математики как ТФДП (теория функций двойной переменной), по полной аналогии с ТФКП, которая, собственно, в части перехода от алгебры к анализу, с понятия сходимости последовательности комплексных чисел и начинается. Точно также должно быть и в ТФДП..

Ну, вот, фактически Вы сами подтверждаете, что зря отказались от квадратичной нормы, органически присущей комплексной плоскости $\mathbb{C}$. А модуль он и «в Африке» модуль, он хорош для объяснения, почему нельзя делить на делители нуля, – потому, что у них нулевой модуль. Еще удобно строить линии равного модуля (и аргумента). Если бы в $\mathbb{C}$ модуль не совпадал бы с квадратичной нормой, но вряд ли бы там «выкинули» бы эту норму. Ибо $\mathbb{C}$ это плоскость, а евклидова квадратичная норма – ее естественная метрика. $\mathbb{H}_2$ – тоже плоскость. Если переходить к каким-нибудь многообразиям, то там может быть естественной другая метрика.

Вообще-то множества Жюлиа и Мальденброта это просто хорошие тестовые примеры, выражающие общую идею фракталов – самоподобие. Хоть прямые итерации, хоть обратные – это все примеры самоподобия. Видимо, в первом случае «плохая» метрика «мешает» проявлению фрактальности, а во втором – нет. Верните квадратичную метрику и посчитайте прямыми итерациями – что получится?

Лично я бы, при серьезном занятии фракталами, делал бы акцент именно на самоподобии. А каким алгоритмом выразить его это уже другой вопрос. Самоподны рекурсивные функции и алгоритмы. Самоподобны хаос и порядок и их комбинации. Интересно посмотреть вопросы самоподобия в информации. Также интересны обратные задачи в построении фракталов.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Естественно сразу встает вопрос, а в чем специфика $H_2$? Ведь все то же самое можно делать и в $R^2$

Давайте попробуем и в этом недоразумении поставить точку. Пространство $R^2$, если я правильно понимаю, что Вы под данным символом подразумеваете - представляет собой линейное пространство или аффинное пространство. На нем заданы лишь две операции с векторами: сложение и умножение на скаляр. Умножение векторов при этом не постулируется. Даже в своих "куцих урезанных" формах вроде внешнего или внутреннего произведения, а уж тем более в "полной" форме, типа того, как это делается в пространствах комплексных, двойных, дуальных чисел, кватернионов, антикватернионов, октав, поличисел и др. в алгебрах определение умножения вводится. Если такое полное (или хотя бы урезанное) произведение векторов (чисел) не задано, над данным пространством не определена метрика и не до конца определена топология. Вам нужно довводить это "руками". А в пространствах типа $H_2$, и метрика, и топология появляются автоматически, именно как следствия постулированной бинарной операции умножения. Тут, что бы мы "руками" уже не добавляли, если это что-то не соответствует естественным метрике и топологии - будет как "корове седло". Собственно, именно этим я и объясняю многочисленные неудачи математиков с построением на плоскости двойной переменной предфракталов, которые получились у нас в статье. Они НАВЯЗЫВАЛИ плоскости двойной переменной ту топологию, которая ей самой совсем не свойственна. Именно поэтому и получали разную тривиальную фигню, а не то что нужно.. Попробуйте на комплексной плоскости ввести топологию "от балды". Как Вы думаете, что останется от множеств Жюлиа и Мандельброта на ней?

В чем разница наших подходов? Вы утверждаете, что операция умножения векторов в линейном пространстве ЗАДАЕТ метрику и топологию. Я же, что на базе такой операции МОЖНО ЗАДАТЬ метрику и топологию, причем различными способами.

Пространство $\mathbb{R}^2$ понимается двояко: как ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО $\mathbb{R}^2$ и как АЛГЕБРА $\mathbb{R}^2$. Этими модификаторами оно полностью определяется. Причем векторное пространство $\mathbb{R}^2$ это линейная оболочка $\mathbb{R}^2 = e_1 \mathbb{R} + e_2 \mathbb{R}$ (от единичных векторов $e_1$ и $e_2$ требуется только их линейная независимость), а алгебра $\mathbb{R}^2$ это прямая сумма $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ (заметим, что в прямой сумме уже нет никаких определяющих единичных векторов). Алгебра прямой суммы $\mathbb{R}^2$ уже СОДЕРЖИТ в себе топологию прямой суммы двух пространств вещественных прямых $\mathbb{R}$. Поскольку определение алгебры не требует наличия топологии, то «встроенная» топология алгебры $\mathbb{R}^2$ может быть проигнорирована и при построении некоторого топологического пространства на базе алгебры $\mathbb{R}^2$ и может быть привлечена любая желаемая топология (но может быть и оставлена топология прямой суммы). В этом случае мы уже будем говорить о некотором топологическом пространстве $\mathbb{X}$, построенного на базе АЛГЕБРЫ $\mathbb{R}^2$.

Так вот когда говориться об изоморфизме $\mathbb{H}_2$ и $\mathbb{R}^2$, то подразумевается изоморфизм их АЛГЕБР, а не ТОПОЛОГИЙ, ибо топологии на них могут быть введены разными способами. Заметим еще раз, что алгебра $\mathbb{R}^2$ это алгебра прямой суммы / произведения, а алгебра $\mathbb{H}_2$ это алгебра линейной оболочки. А у линейной оболочки нет «встроенной» топологии прямой суммы (хотя она может быть привлечена, но это уже будет не «чистая» $\mathbb{H}_2$).

Если бы мы придерживались строго этих определений, то у нас бы было меньше «непоняток» :) .

Что касается основной идеи фракталов – самоподобия, то вряд ли на самоподоие, как таковое, влияет топология. Нет, безусловно, влияет, но не является главенствующей. Ибо самоподобие может реализоваться при разных топологиях.

Time писал(а):

Исходная (затравочная, как я ее называю) функция, как и на комплексной плоскости на двойной плоскости может быть практически любая. Не обязательно квадратичная, просто последняя наиболее исследована и является каноническим примером. Главное, что бы "затравочная" функция на комплекснойй плоскости была аналитической, а на двойной h-аналитической. В этом случае, что предфракталы, что сами фракталы, как предельный случай бесконечной последовательности предфракталов, оказываются на каждом шаге связаны с конформными преобразованиями соответствующего метрического пространства. А конформные преобразования это и есть НЕЛИНЕЙНЫЕ СИММЕТРИИ пространства. Не будь этих симметрий, не видать бы нам гармоничных, красивых, самосогласованных и самоподобных алгебраических фракталов и предфракталов как собственных ушей. Именно поэтому я априори уверен, что все строящееся на пространстве кватернионов, антикватернионов или октав - истинными алгебраическими фракталами не может являться по принципиальным соображениям. Там нет для этого нужного разнообразия нелинейных симметрий, то есть конформных преобразований. А без симметрий не будет и порядка. Хаос наступает уже на самых первых шагах построений. Иное дело на всех поличислах (по крайней мере, невырожденных). Тут и конформная группа со своей бесконечной размерностью всегда наготове, а в случае трех и более измерений появляются еще и новые нелинейные симметрии, связанные уже с инвариантностью не только длин и углов, но тринглов и прочих полиуглов.

Тоже целый набор весьма спорных утверждений :) . Я думаю, что алгоритмическое самоподобие можно реализовать на любой топологии и любой числовой системе и нетривиальные результаты получить практически везде (если топология не вырождена).

Time писал(а):

Еще раз.. Как только у нас в руках появилась алгебра с постулированным полным произведением всех своих элементов (а на поличислах - так часто еще и делить можно), так метрика и топология (по крайней мере естественные, а не навязываемые непонятно по каким причинам извне) согласованные с этой операцией уже появляются автоматически и от нас единственное, что требуетсяб так это их правильным и полным образом выудить, понять и эффективно использовать. А станете навязывать не то, что в этой алгебре и в соответствующем ей пространстве содержится - получите неразбериху и кашу, а также никогда не выйдете на естественную красоту и гармонию этих алгбр, анализа над ними, соответствующих геометрий и (полагаю в некоторых случаях это практически неизбежно) физики, с ее естественной предрасположенностью к непрерывным симметриям.

Для меня естественная топология плоскости (хоть $\mathbb{C}$, хоть $\mathbb{P}_2, \mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$) – евклидова. Если мы выберем многообразие, то там «естественной» топологией может быть уже другая топология. Я никак не связываю метрику, норму и топологию с операцией умножения векторов. Ибо таковая операция может быть не определена, а топология – вполне, например, в векторном топологическом пространстве. Ибо тут может быть и длина и расстояние и окрестности, но произведение векторов не существовать.

Time писал(а):

Если пытаться искать нестандартные топологии в отрыве от поличисел, то, думаю, и десятка жизней не хватит, что бы набрести на те, которые уже и так перед глазами имеются, только еще не раскрыли всех своих истинных прелестей. Пример с предфракталами на двойных поличислах - тому пример.

Зачем использовать нестандартные топологии? Достаточно плоскости предоставить «прямую» (плоскую) топологию, а многообразиям – «кривую» (неплоскую) топологию, соотнесенную со структурой этого многообразия.

Time писал(а):

Попробуйте найти конкретно ту нестандартную топологию, что позволяет получить "наши" с Панчелюгами предффракталы на двойной плоскости, но уже методом прямых итераций (как по классике должно быть) - тогда именно эту топологию и можно будет назвать "родной" и естественной для двойных чисел. Другая для них, скорее всего, после этого никому уже и не понадобится.. Тоже самое и для любой другой конкретной алгебры поличисел (неизморфных друг другу, естественно). Какую бы алгебру поличисел мы не взяли, для каждой нужно в обязательном порядке найти свою единственную естественную метрику (уже финслерову) и соотсвтетсвующую именно ей топологию. По крайней мере, именно так мне это все видится..
Что с Вашей точки зрения здесь "не так"?

Такую топологию я уже предложил – квадратичная. Но даже если это не «поможет», то не страшно. Мы уже видели на интегралах типа Коши для $\mathbb{C}$ и $\mathbb{H}_2$ что от коэффициента $\ln(\pm 1)$ много что зависит, то ли быть нетривиальной формуле Коши, то ли тривиальной. Думаю, что этот фактор может влиять и на фракталы в $\mathbb{H}_2$. А алгоритмы самоподобия для $\mathbb{H}_2$ можно предложить и другие, что фактически Вы и продемонстрировали в своей статье.

Time писал(а):

Хочется Вам или нет, но поличисла нужно принимать такими, как они есть. Именно с теми алгебраическими свойствами, что вытекают из потсулированных законов сложения и умножения, с соответствующей им метрикой, геометрией, симметриями и топологией. Тут все, как говорится, в одном флаконе. И ничего ни убавить, ни прибавить. Мне довольно часто попадались работы по поличислам, в которых авторы пытались "навязывать" этим алгебрам желаемые ими геометрии (в частности, так поступал Олариу и Елисеев), ничего хорошего из этого не может получится. Ну, это примерно тоже самое, как если б алгебре комплексных чисел начать навязывать двумерную геометрию галилеева пространства, а то, например, финслерову с третьими степенями метрической функции. Понравится это комплексной плоскости, как Вы думаете и что из этого может получиться? Тоже самое, думаю, касается и топологии..

Вы тоже можете считать Вашу топологию неотъемной частью поличисел. Однако, я тоже могу сказать, что «хочется Вам или нет» но эта топология является «отъемной». Ибо топология и алгебра это независимые понятия. Хотя ничто не мешает нам рассматривать алгебраическую топологию и топологическую алгебру. Это как два кубика в детском конструкторе, которые можно как объединять, так и разделять. Любой математик предпочтет вести разговор иначе. Например, пусть X это векторное пространство A с алгеброй B и топологией C. Тогда. . . Все, и никаких вопросов! А входит или не входит A, B и C в X, естественны ли они или противоестественны – это уже не имеет ни малейшего значения. Главное, математический объект определен и можно приступить к исследованию его свойств. А поскольку у Вас не видно недвусмысленных определений, то приходится их вводить. Вам они могут не нравиться и явно не нравятся. Но свои определения Вы не предлагаете. А понять, что Вы имеете в виду очень трудно. Люди то все разные. Вот и идет мучительный процесс выяснения, а что Вы на САМОМ ДЕЛЕ имеете в виду? И на основании чего выдвигаете довольно спорные утверждения? К сожалению, читать чужие мысли умеют не все :) .

Как по мне Олариу поступает естественно, только жаль, что у него не рассмотрен вопрос классификации поличисел. Однако его работы не бесполезны. У Елисеева очень много слов и картинок, но суть его исследований держится на двух основных идеях. Первая, он фактически рассматривает некоторую поличисловую систему, правда, с не до конца определенной таблицей умножения. Ввод и обосновании ее у него далеко не безукоризненны, но он имеет полное право взять ее постулатом. Другая его идея гораздо менее воспринимаемая ибо он производит «офизичевание» математического объекта, а именно системы координат. В итоге он все равно не может «отменить» декартову систему координат, но попытки сделать это выглядят очень неуклюже. Да и строгих выводов у него очень мало, в основном только правдоподобные рассуждения, что трудно принять математикам. Поэтому его работа математикам малоинтересна.

Time писал(а):

При построении сложных фракталов у Вас, как минимум, два сильно различных по своим последствиям принципиальных пути. Строить такие фракталы чуть ли не "от балды", беря непонятные исходные объекты без четких критериев к их алгебраическим, метрическим и топологическим свойствам, или опереться на фундаментальные симметрии, имеющие, кроме всего прочего бесконечное разнообразие. Лучше всего последние себя чувствуют, как мне кажется, внутри алгебр, анализа и пространств связанных с поличислами. Если заниматься фракталами и предфракталами связанными именно с ними и не забывать, что именно симметрии должны тут играть роль первых скрипок - что бы Вы не построили, всегда будет красиво и гармонично, если, конечно, не наделали банальных ошибок и не поставили свои желания выше естественных возможностей конкретных самодостаточных математических объектов.

Ну, я во главу угла ставлю самоподобие, а не «фундаментальные симметрии, имеющие, кроме всего прочего бесконечное разнообразие». Просто это две разных «вещи». Самоподобие – это когда алгоритм построения части такой же, как и построения целого (или наоборот). Алгоритмическая «одинаковость» не означает физическую тождественность. Это немного разные понятия. А этот саморекурсивный алгоритм, если так можно выразиться, может уже привлекать различные другие идеи, в том числе и Ваши, неоднократно высказываемые. Но это уже будет другой уровень фракталов.

[Time]

[

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

В литературе сплошь и рядом для двойных чисел используется обычная евклидова норма. А модуль используется только для характеристики близости к делителям нуля и как норма не применяется.

Да, знаю, что часто именно евклидову метрику на плоскости двойной переменной пытаются вводить как естественную. Более того, я знаю, как это формально можно сделать. Точно также как аналогично можно поступить и с комплексной плоскостью, введя на ней псевдометрику двумерного псевдоевклидова пространства. Спрашивается только - ЗАЧЕМ так поступать?

Почему в стандартном курсе ТФКП так не поступают и рассматривают совпадающие выражения для модуля числа и метрики? Либо давайте аналогичную свободу оставлять для комплексных чисел, либо договоримся и для двойных чисел считать модуль и метрическую функцию (псевдометрику) совпадающими. Это вопрос договоренностей. Я предпочитаю второй вариант.

Цитата:

Двойные числа это не прямая сумма

Все, приехали.. Я уже перестал что либо понимать. :( Давайте хотя бы того же Розенфельда придерживаться, равно как и теоремы Вейерштрасса. Поскольку алгебра двойных гиперкомплексных чисел коммутативна и ассоциативна, ничем кроме как прямой суммой двух действительных алгебр она не может быть.

Цитата:

, а линейная оболочка, поэтому топология прямой суммы там возможна, но не кажется естественной. В $C$ модуль и квадратичная норма совпадают, а в $Н_2$ нет. «Тривиальные результаты» могут быть вызваны отказом от квадратичной нормы.

В $С$ также можно, если захотеть, принять метрическую функцию не в виде суммы квадратов, а в виде разности. Тогда модуль и псевдометрика на $C$ также не будут совпадать (Как это сделать - другой вопрос. Но оно - кому ни будь надо? А если мы не далаем этого на $C$, то зачем подобной эквилибристикой заниматься на $H_2$? Я убежденный сторонник того, что бы подходы к $C$ и к $H_2$ были бы зеркально аналогичными. Поэтому, и модуль, и метрическая функция на $H_2$ НУЖНО принимать как совпадающие. В противном случае, легко получить сплошной бардак..

Если Вы введете на плоскости двойной переменной метрику в виде суммы квадратов, то в качестве множеств Жюлиа и Мандельброта получите ровно те же самые, что и на комплексной плоскости кривульки. Зато, если на комплексных числах в качестве расстояний возьмете разность квадратов - то проблемы поиска гиперболических фракталов переместятся сюда. В результате вопрос существования гиперболообразных множеств Жюлиа и Манделброта все равно останется открытым. Между тем как при $c=0$ аналогия между "круглым" множеством Жюлиа на $C$ и "гиперболообразным" на $H_2$ - вполне отчетливо проглядывает. С этим даже РУст не спорит. :)
Давайте все же не заниматься чехардой, а согласимся с правилом именно выражение для модуля числа принимать в качестве естественной метрической формы соответствующего данным числам геометрического пространства. Причем это правило закрепить не только для комплексных и двойных чисел, но и для всех без исключения поличисел. В противном случае, мы никогда из трясины различных возможных вариантов не выберемся..

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Если бы в $C$ модуль не совпадал бы с квадратичной нормой,

На комплексной плоскости мы точно также как Вы предлагаете на двойной МОГЛИ БЫ рассматривать не только положительно определенную квадратичную норму, но и метрическую функцию в виде разности квадратов. Тут ведь Вы такую возможность не стараетесь использовать.. Зачем же двойную плоскость так насиловать? А когда перейдем к поличислам большего, чем 2 числа измерений, там вообще бездна различных ВОЗМОЖНЫХ вариантов НАЗНАЧЕНИЯ метрической функции появится. И чего? Все станем по очереди рассматривать как гипотетически приемлимые? Как хотите, а я в качестве естественного способа появления в пространстве ЛЮБЫХ поличисел метрической функции продолжу рассматривать исключительно выражения для их модулей. Об остальных возможных вариантах согласен просто помнить, как о гипотетических, но до поры до времени ненужных.. Как знать, может вообще удастся без этого обойтись (как обходятся на комплексных числах).

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Видимо, в первом случае «плохая» метрика «мешает» проявлению фрактальности, а во втором – нет. Верните квадратичную метрику и посчитайте прямыми итерациями – что получится?

Мешает не "плохая" метрика, а неправильное и неадекватное ее применение на плоскости $H_2$, которая по своей гармоничности и самосогласованности ничем не хуже комплексной плоскости, если над ней не совершать необдуманных насильственных действий. Если Вы плоскости двойной переменной насильно припишите евклидову норму - получится гибрид, который, быть может, в некоторых математических задачах и будет оказываться полезным, но только не в той, которую мы пытаемся решать для себя, а именно, сделать не только двойные числа, но и другие поличисла естественными помошниками в математическом моделировании реальных физических явлений. В частности, если мы с двойными числами связываем в качестве метрической функции именно разность квадратов, эти числа автоматом оказываются связанными с двумерной СТО, а если попробуем связать с метрикой сумму квадратов, то я не представляю, какую физику из такого уродца можно извлечь.. Вы сами - представляете?

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Я же, что на базе такой операции МОЖНО ЗАДАТЬ метрику и топологию, причем различными способами.

Ну, тогда будьте последовательны и рассматривайте аналогичные варианты на комплексной плоскости. Почему Вы хотите использовать такую ВОЗМОЖНОСТЬ где угодно, но только не на $C$? Там также формально ни что не мешает поступать аналогично различными способами..

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Пространство $R^2$ понимается двояко

Не согласен его так понимать. Именно из-за этой двоякости и происходит та постоянная путаница, о которой я Вам говорил. Если это векторное пространство, то на нем нет операции умножения вектора на вектор. А если это алгебра (даже в виде прямой суммы) - то есть. Если это векторное пространство, то о совпадении его с $H_2$ не может быть и речи. А если алгебра, да еще понимаемая как прямая сумма двух действительных алгебр, то да, такая алгебра изоморфна $H_2$.
Кстати обратите внимание на обозначения в книге 2003 года Розенфельда. Тот под $R^2$ понимает пространство с евклидовой метрикой, а пространство с псевдоевклидовой обозначает как ${R_1}^2$. К нему в данном плане у меня нет претензий, равно как и к тому, что алгебру $H_2$ он понимает как изоморфную прямой сумме двух действительных алгебр.

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Зачем использовать нестандартные топологии? Достаточно плоскости предоставить «прямую» (плоскую) топологию, а многообразиям – «кривую» (неплоскую) топологию, соотнесенную со структурой этого многообразия

Ну вот, нам еще для полной каши тут неплоских многообразий не хватало. Давайте пока вообще не отходить от плоских пространств, тем более, что конформные преобразования в пространствах поличисел не изменяют их нулевой кривизны, по крайней мере, в не особых точках..

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Вы тоже можете считать Вашу топологию неотъемной частью поличисел. Однако, я тоже могу сказать, что «хочется Вам или нет» но эта топология является «отъемной». Ибо топология и алгебра это независимые понятия. Хотя ничто не мешает нам рассматривать алгебраическую топологию и топологическую алгебру. Это как два кубика в детском конструкторе, которые можно как объединять, так и разделять. Любой математик предпочтет вести разговор иначе.

Согласен, гипотетически можно при заданных правилах коммутативно-ассоциативного умножения векторов пристраивать к алгебре, чуть ли не от балды, метрическую функцию, а в добавок к этому еще и различные топологии. Возможно даже, что кому то такое "разнообразие" возможностей греет душу и создает ощущение бездны интересных вариантов. Но только не для меня. Я уже говорил, что имею прагматичный стиль мышления и беру на вооружение те приемы, которые хотя бы единожды оправдали свое применение. В данном случае таким примером для меня является триединство модуля, метрики и топологии в алгебре комплексных чисел. Именно такого же триединства я всеми силами буду придерживаться и на других поличислах, какими бы соблазнами различных возможностей математики меня не пытались заинтриговать. Я прекрасно вижу, откуда ростут ноги у подобных приемов (дело в том, что с коммутативно-ассоциативными алгебрами как математической основой конкретного вида линейных финслеровых пространств из них практически никто не работал и что самое печальное - не хотят работать, отгораживаясь фразами, мол тут все тривиально, поскольку прямая сумма и никаким финслером тут не пахнет) и на сколько оказались печальными последствия. Попробуйте назвать хоть одну ссылку на работу в которой алгебры связанные с прямыми суммами комплексных и действительных полей рассматривались через соответствие с конкретными линейными финслеровыми пространствами. Я такой не знаю ни одной. А Вы говорите - возможности.. Эти многочисленные варианты, почему-то, приводят только к одному, все рассматривают лишь квадратичные метрики и ни один не пошел по финслеровским вариантам. Так что, все это только на словах, что бы на деле рассматривать лишь наиболее привычные и понятные варианты. А мне привычного не нужно. Мне нужно, что бы было естественно, красиво и содержательно, причем так, что бы не выкинутыми оказались возможности использования бесконечных групп симметрий, в том числе конформных.

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Главное, математический объект определен и можно приступить к исследованию его свойств. А поскольку у Вас не видно недвусмысленных определений, то приходится их вводить. Вам они могут не нравиться и явно не нравятся. Но свои определения Вы не предлагаете.

Мне казалось, что приступая к диалогу Вы прочитали соответствующую главу книги Гарасько "Геометрия невырожденных поличисел". Там все определения и способы нашего подхода к ним четкр представлены. Возможно и не в привычном для математика формате лемм и теорем, но, на мой взгляд, вполне приемлимым образом.

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Как по мне Олариу поступает естественно, только жаль, что у него не рассмотрен вопрос классификации поличисел. Однако его работы не бесполезны. У Елисеева очень много слов и картинок, но суть его исследований держится на двух основных идеях.

Ни у первого, ни у второго, и ни у кого другого коммутативно-ассоциативные алгебры гиперчисел не рассматриваются в связи с метрическими функциями линейных финслеровых пространств в тесном единстве с выражением для модуля числа. Это такое же недоразумение, как если бы у комплексных чисел стали бы рассматривать метрику также не связанную с выражением для модуля. Нечто математизированное при этом конечно же получили б, только вот тесно связанное с геометрией и физикой - вряд ли.. А мне не хотелось бы потерять аналогичных связей и для других поличисел..

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Ну, я во главу угла ставлю самоподобие, а не «фундаментальные симметрии, имеющие, кроме всего прочего бесконечное разнообразие». Просто это две разных «вещи». Самоподобие – это когда алгоритм построения части такой же, как и построения целого (или наоборот). Алгоритмическая «одинаковость» не означает физическую тождественность. Это немного разные понятия. А этот саморекурсивный алгоритм, если так можно выразиться, может уже привлекать различные другие идеи, в том числе и Ваши, неоднократно высказываемые. Но это уже будет другой уровень фракталов.

О такой возможности мне также пркрасно известно, как и о самых различных вариантах пристойки к поличислам различных не совпадающих с модулем метрических функций и различных топологий. Опять возникает вопрос - А ЗАЧЕМ? Что бы было побольше всяких разных вариантов? Да их количество сразу неимоверно возрастает. Кому как, но мне как прикладнику это не нужно. Меня вполне устроят частные случаи фракталов, которые строятся ПО ОБРАЗУ И ПОДОБИЮ алгебраических фракталов на тех же комплексных числах. А то что на евклидовой плосокости можно понастроить разных снежинок Коха и ковров Серпинского с разными древовидными фракталами - мне это не интересно и я принципиально не понимаю как это можно связать с физикой. А вот когда получаются фракталы в тесной связи не просто с различными алгебрами и пространствами, а в соблюдении на каждом шаге итерационного процесса непрерывных нелинейных (линейные также могут быть, но их не много и они не сильно интересные) симметрий, причем не взявшихся из ниоткуда, а связанных с метрическими и нвариантами пространства возникшего на базе исходной алгебры поличисел - вот тогда да, я понимаю как отсюда рано или поздно возникнут параллели с законами сохранения самых разных яизически интерпретируемых величин.
Переубедить меня можно, в частности, на примере тех же кватернионов. У них как известно, алгебра некоммутативная, а группа конформных преобразований соответствующего четырехмерного евклидова пространства - всего 15-параметрическая. Не смотря на, казалось бы, естественную связь с комплексными числами, на кватернионах, на сколько мне известно, еще никому не удалось построить непротиворечивым образом четырехмерных обобщений ни множества Мандельброта, ни множеств Жюлиа. Те фракталоподобные картинки, которые можно в связи с упоминанием алгебры кватернионов встретить в интеренете при ближайшем рассмотрении оказываются фикцией, так как стОит увеличить число итераций при построении как все в буквальном смысле рассыпается в дым.. Да и метод обратных итераций в отличие от комплексных и двойных чисел к ним не применим. Попробуйте на кватернионах повычислять корни, сперва из квадратичной функции, потом на чтевртой степени, потом на восьмой и т. д. Может так понятнее станет - о чем я...

P.S. В теме по физике я привел примеры как выглядят мнимые единицы изотропного базиса алгебры ${C}\oplus{C}$ представленных в виде матриц 4x4, а также две таблицы умножения базисных единиц, одна для изотропного варианта, другая для "ортонормированного".

[Руст]

Хотя пустые споры надоели, не могу согласится с торжеством бредовых идей.
1. Задание алгебры (конечномерной) однозначно определяет норму как определитель матрицы умножения. Так как умножение $(a+bi)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i$ для комплексных чисел, то матрица умножения имеет вид $\binom{a \ -b}{b \ \ a}$ и определитель (не зависит от выбранного базиса) есть $a^2+b^2$. В случае прямой суммы матрица диагональная и определитель есть произведение компонент. Чтобы норма (алгебраическая) определила норму в смысле анализа надо брать абсолютную величину и 1/n ую степень.
Алгебраическая сумма (конечная) совпадает с произведением. Топология произведения есть Евклидова топология, но она не полностью согласуется с нормой. На самом деле топология определяется однозначно и заданием категории и определение объекта через категорную диаграмму. В качестве морфизмов берутся функции $a_0+a_1x+a_1x^2+...$ (в алгебре они определены и сходимость по норме). Более просто (без категории) топология задается определением последовательностей, сходящихся к нулю. Согласованным является только топология, когда последовательность сходится в случае сходимости к нулю произведений ненулевых элементов. Сходимость к бесконечности в алгебре определяется через сходимость к нулю $1/x$. Однако в алгебре с делителями нуля приходится определит из условия стремления к бесконечности произведения ненулевых координат.

Почему Панчелюга с соавторами не смог определит множество Жюлиа?
Дело в том, что сами вычисления на компьютере использует фактический Евклидовую топологию (это связано с округлениями). Гиперболические (условные) сходимости, когда по одной координате имеется расходимость компенсируемая быстрой сходимостью по другой координате только компьютерными расчетами трудно уловить, тем более в плохих координатах, когда равенство нулю или близость к нему выражается равенством или близостью по модулю значений одних значений координат. При этом быстро теряется точность вычисления (не устойчивого) нормы.
Демонстрирую это на том примере $c=-1.3+j0=-1.3e_1-1.3e_2$ Здесь $-2<c_i<-3/4$, т.е. стационарные точки неустойчивы. Эта неустойчивость сильно сказывается на вычислениях. Малая ошибка в округлениях приводит к большим ошибкам, что даже высокая точность вычислений не гарантирует точность вычислений порядка 1 уже десятой или двадцатой итерации. Это еще можно было обойти делая расчет все более точной (например программированием на $Pari$). Здесь есть другая загвоздка. Для любой итерации $N$ существуют при этих значениях $c$ бесконечно много точек (всего $2^{N}$ точек по одной координате, по другой бесконечно), что после $N$ - ой итерации получим число с нулевой нормой. Это $N$ можно сделать миллионной, можно миллиардной. Соответственно ни какими приближениями предфракталов мы не можем определить имеется для таких значений сходимость к бесконечности или нет. Аналитический легко разбирается, что такие точки сходятся к бесконечности, если другая координата за квадратом с вершинами $\pm \frac{1+\sqrt{1-4c_i}}{2}$. Иначе нет сходимости ни к бесконечности ни к другой точке.

Цитата:

Если Вы введете на плоскости двойной переменной метрику в виде суммы квадратов, то в качестве множеств Жюлиа и Мандельброта получите ровно те же самые, что и на комплексной плоскости кривульки. Зато, если на комплексных числах в качестве расстояний возьмете разность квадратов - то проблемы поиска гиперболических фракталов переместятся сюда.

Неверно. Функция (ее вычисление) и ее итерации определяются алгеброй. Как я уже раньше отмечал, многое у фракталов от топологии мало зависят. Т.е. во многих случаях например как в этом случае $-2<c_i<0$ фракталы не зависят от топологии.

Цитата:

В результате вопрос существования гиперболообразных множеств Жюлиа и Манделброта все равно останется открытым. Между тем как при $c=0$ аналогия между "круглым" множеством Жюлиа на $C$ и "гиперболообразным" на $H_2$ - вполне отчетливо проглядывает. С этим даже РУст не спорит. :)

Вопрос закрыт (смотри выше). Различия появляются только при $|c|=0$ и в чем описано выше.

Scholium в сообщении #316122 писал(а):

Зачем использовать нестандартные топологии? Достаточно плоскости предоставить «прямую» (плоскую) топологию, а многообразиям – «кривую» (неплоскую) топологию, соотнесенную со структурой этого многообразия

Сходимости, фракталы определяются локальной топологией, многообразия локально топологический изоморфны Евклидовым пространствам.

Цитата:

Согласен, гипотетически можно при заданных правилах коммутативно-ассоциативного умножения векторов пристраивать к алгебре, чуть ли не от балды, метрическую функцию, а в добавок к этому еще и различные топологии.

Неверно, метрическая функция определяется алгеброй однозначно, фактический топология тоже.

Цитата:

Я прекрасно вижу, откуда ростут ноги у подобных приемов (дело в том, что с коммутативно-ассоциативными алгебрами как математической основой конкретного вида линейных финслеровых пространств из них практически никто не работал и что самое печальное - не хотят работать, отгораживаясь фразами, мол тут все тривиально, поскольку прямая сумма и никаким финслером тут не пахнет) и на сколько оказались печальными последствия.

Тривиально факт, однако именно из-за прямой суммы алгебры нет изотропии, т.е. финслерова геометрия.

Цитата:

Переубедить меня можно, в частности, на примере тех же кватернионов. У них как известно, алгебра некоммутативная, а группа конформных преобразований соответствующего четырехмерного евклидова пространства - всего 15-параметрическая. Не смотря на, казалось бы, естественную связь с комплексными числами, на кватернионах, на сколько мне известно, еще никому не удалось построить непротиворечивым образом четырехмерных обобщений ни множества Мандельброта, ни множеств Жюлиа.

Возможно кто то строил. Тем более для таких функций (с действительными коэффициентами перед степенями) множества Мандельброта не чем не отличаются от соответствующих множеств в комплексном случае. Легко определит замену новой мнимой единицы и все будет происходит как в соответствующей комплексной плоскости.

Цитата:

Те фракталоподобные картинки, которые можно в связи с упоминанием алгебры кватернионов встретить в интеренете при ближайшем рассмотрении оказываются фикцией, так как стОит увеличить число итераций при построении как все в буквальном смысле рассыпается в дым.

Вряд ли.

Цитата:

. Да и метод обратных итераций в отличие от комплексных и двойных чисел к ним не применим. Попробуйте на кватернионах повычислять корни, сперва из квадратичной функции, потом на чтевртой степени, потом на восьмой и т. д. Может так понятнее станет - о чем я.

Это не так для функций с действительными коэффициентами. В этом случае все как в комплексном случае, только с другой мнимой единицей.

[Time]

Руст в сообщении #316297 писал(а):

1. Задание алгебры (конечномерной) однозначно определяет норму как определитель матрицы умножения.

Именно так связывать модуль поличисла и метрическую функцию соответствующего пространства мы с Гарасько и предлагаем. Другие варианты - неестественны. Однако чисто формально, метрическую функцию поличисла можно связать не только с определителем матрицы таблицы умножения, но и с ее перманентом. Последний для алгебры комплексных чисел равен $a^2-b^2$, а для двойных чисел - $a^2+b^2$. Это непривычно и вряд ли к чему-то логичному приводит, но для логики "почему бы и нет" - вполне сойдет. Кстати, то, что Вы говорите о топологии на плоскости двойной переменной - примерно из этого же репертуара. Вы не получили ее из алгебры, а фактически навязали двойным числам, что в первом варианте (покомпонентная сходимость), что во втором (сходимость по модулю)..

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Топология произведения есть Евклидова топология, но она не полностью согласуется с нормой.

Именно против такого волюнтаристского определения топологии на плоскости двойных чисел - я и выступаю. То, что у нас с Панчелюгой стали получаться логичные и красивые предфракталы - говорит, что мы на правильном пути. Если Вам это не нравится, или Вы считаете наши результаты банальными - это Ваше личное дело. Я ими вполне удовлетворен и вижу только два недостатка, с которыми вполне можно справиться:
1. Научиться разборчиво изображать предфракталы для большого числа обратных итераций, что, возможно, решается исключением из рассмотрения одной временной оси и построения сечения предфрактала световым конусом;
2. Включить в конструкцию предфракталов методом обратных итераций на двойных числах также корни с отрицательными значениями подкоренных выражений, то есть выйти из плоскости $H_2(R)$ в четырехмерное комплексно расширенное финслерово пространство $H_2(C)$. Возможно, тут и с изображаемостью большого числа итераций проблема решится автоматически.

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Почему Панчелюга с соавторами не смог определит множество Жюлиа?

Именно Панчелюга и смог, в то время как Вы получили просто старые результаты других авторов, которые также брались за эту задачу примерно с таких же позиций подхода к определению сходимости. (См. ссылки на соответствующую литературу в нашей статье).

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Неверно. Функция (ее вычисление) и ее итерации определяются алгеброй. Как я уже раньше отмечал, многое у фракталов от топологии мало зависят.

Вы просто исходите из факта, что метрика на поличислах определяется выражением для определителя матрицы умножения. Если через "немогу и нехочу" мы ее связываем с перманетном - ситуация меняется. Не знаю, на что опираетесь Вы, а я видел результаты конкретных вычислений множеств Жюлиа, когда на плоскости двойной переменной "руками" вводилась евклидова метрика. Это были те же самые фракталы, что и на комплексной плоскости. Можете сами попробовать.. С компьютером это прсото делается..

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Вопрос закрыт (смотри выше). Различия появляются только при и в чем описано выше.

Ваш способ закрытия вопроса с гиперболическими аналогами множеств Жюлиа меня ни в коей степени не устраивает. Зато то направление, в котором его закрывает Панчелюга - вполне удовлетворяет.

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Сходимости, фракталы определяются локальной топологией, многообразия локально топологический изоморфны Евклидовым пространствам.

Подобных безапелляционных утверждений в отношении произвольного вида финслеровых пространств я насмотрелся на несколько лет вперед. Там также все математики в унисон заявляли, что локально, все финслеровы пространства имеют метрику Минковского. Подобные утверждения верны лишь в контексте принятого формального подхода. Когда такие выводы мне начинают резать слух и интуицию, я предпочитаю искать более естественный формализм и стараюсь внедрить его, а не соглашаться с натянутыми и некрасивыми утверждениями. Думаю, что примерно тоже самое и с "вашей" топологией на двойной плоскости. Нужно просто творчески подойти к проблеме и найти такие правила появления топологии из самой алгебры поличисел, что бы абсолютно нигде "не жало". А сейчас, именно что, жмет. Во всяком случае, мне... И причем - сильно..
Если у Вас чувства дискомфорта это не вызывает, могу только порадоваться за Вас.

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Неверно, метрическая функция определяется алгеброй однозначно, фактический топология тоже.

Вот под такими словами с готовностью подпишусь. Именно так и должно все быть, во всяком случае, при естественном соответствии друг другу алгебры поличисел, метрической функции и топологии. На двойных числах вопрос с последним по прежнему считаю открытым и полагаю необходимым увязать топологию на этой плоскости с построением наших с Панчелюгой предфракталов. Ясно, что эта задача не для Вас. Вы просто не видите здесь проблемы. Будем искать тех, кто проблему увидет и захочет искать выходы из нее. :)

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Тривиально факт, однако именно из-за прямой суммы алгебры нет изотропии, т.е. финслерова геометрия.

Про тривиальность связи алгебр поличисел размерности выше двух с линейными финслеровыми пространствами я от Вас слышал уже не раз. Вот только ни одной ссылки на обсуждение и описание этого факта в математической или какой другой литературе пока так и не увидал. Пожалуйста, приведите пару работ до наших с Гарасько, в которых это обстоятельство замечено и хотя бы в общих чертах проанализировано. Именно с позиций финслеровой геометрии. Ведь если все просто и прозрачно, хоть кто-то что-то, но должен же был опубликовать.. Еще лучше, если дополнительно приведете ссылки и на способы описания таких финслеровых пространств, которые мы с Гарасько осуществляем при помощи обобщения понятия скалярного произведения на скалярное полипроизведение.
А на счет того, что все это элементарно я и не спорю. Еще как все просто и даже тривиально, только до поры до времени эту проcтоту чегой то никто не замечает..

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Возможно кто то строил. Тем более для таких функций (с действительными коэффициентами перед степенями) множества Мандельброта не чем не отличаются от соответствующих множеств в комплексном случае. Легко определит замену новой мнимой единицы и все будет происходит как в соответствующей комплексной плоскости.

Так не пойдет.. Такими утверждениями, что возможно кто-то где-то все уже давно перепробовал - доказывать правоту своей позиции не стОит. Просто, приведите конкретные ссылки на положительные результаты таких построений, а там видно будет..

Еще раз повторю, что затравочная квадратичная функция для множеств Жюлиа на комплексной плоскости - аналитическая, а в пространстве кватернионов - нет. Одной похожестью свойств мнимых единиц тут не обойдешься.

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Вряд ли.

Снова "сильный" аргумент. В интернете есть типовые программы построения "фракталов" на кватернионах методами прямых итераций, копирующими аналогичную процедуру на комплексной плоскости. Мы такие программы скачивали, да и свои писали. При увеличении числа итераций - границы "фрактального" множества не стабилизируются, как в комплексном случае, а буквально на глазах начинают таять. Можете сами проверить.. Это лучше, чем просто гадать.

Руст в сообщении #316297 писал(а):

Это не так для функций с действительными коэффициентами. В этом случае все как в комплексном случае, только с другой мнимой единицей.

Снова попрошу доказать Ваше утверждение. Вычислите, пожалуйста, в качестве примера квадратный корень из какого ни будь конкретного кватерниона со всеми четырьмя ненулевыми компонентами и заодно было бы интересно глянуть на геометрическую интерпретацию этих корней аналогично геометрической интерпретации квадратных корней из обычных комплексных или двойных чисел.

[Руст]

Цитата:

То, что у нас с Панчелюгой стали получаться логичные и красивые предфракталы - говорит, что мы на правильном пути.

Всё это бред. Почему я объяснил выше. Компьютером нельзя установить расходимость из-за неустойчивостей вычислений и из-за того, что для расходящихся точек даже после миллиардной итерации может встретится шаг, когда норма обратится нулю или периодический с некоторым шагом будет и дальше обращаться нулю.

Цитата:

Если Вам это не нравится, или Вы считаете наши результаты банальными - это Ваше личное дело. Я ими вполне удовлетворен и вижу только два недостатка, с которыми вполне можно справиться:

Мне (и другим математикам) не нравится бред, выдаваемый за результат. Чтобы убедиться в этом вам достаточно перейти на вычисления к более удобным координатам по компонентно и вычислять в прямую в нужную итерацию. То, что за пределами квадрата при $-2<c_i<0$ всегда расходимость легко доказывается аналитический (компьютерные вычисления всегда урежут малые области расходимости, причину которого я объяснил выше).

Цитата:

2. Включить в конструкцию предфракталов методом обратных итераций на двойных числах также корни с отрицательными значениями подкоренных выражений, то есть выйти из плоскости $H_2(R)$ в четырехмерное комплексно расширенное финслерово пространство $H_2(C)$. Возможно, тут и с изображаемостью большого числа итераций проблема решится автоматически.

Это очередной бред. Во первых для тех точек, одна координата которой останется всегда ограниченной не встретятся корни от отрицательных выражений, во вторых для расходящихся точек (координаты) если это сделать вы уйдете в комплексное расширение чего нет в исходной задаче (в прямой итерации).

Цитата:

Именно Панчелюга и смог, в то время как Вы получили просто старые результаты других авторов, которые также брались за эту задачу примерно с таких же позиций подхода к определению сходимости. (См. ссылки на соответствующую литературу в нашей статье).

Я не претендую на авторство, а только на правильное решение.

Цитата:

Вы просто исходите из факта, что метрика на поличислах определяется выражением для определителя матрицы умножения. Если через "немогу и нехочу" мы ее связываем с перманетном - ситуация меняется. Не знаю, на что опираетесь Вы, а я видел результаты конкретных вычислений множеств Жюлиа, когда на плоскости двойной переменной "руками" вводилась евклидова метрика. Это были те же самые фракталы, что и на комплексной плоскости. Можете сами попробовать.. С компьютером это прсото делается.

Очередной бред. Во первых перманенты не являются инвариантами и зависят от того, в каком базисе записаны вектора. Соответственно они не определяются векторами, а их координатами в конкретном базисе.
Во вторых, я уже показал, что фракталы изменяются при Евклидовой топологии только в случае когда норма с равна 0 и то не радикально за счет условной сходимости. Я уже объяснил, почему с компьютером это не всегда хорошо получается. Но и без компьютера очевидно, что в топологии произведения все множества являются произведением одномерных фракталов, чего не может быть в комплексной плоскости.

Цитата:

Зато то направление, в котором его закрывает Панчелюга - вполне удовлетворяет.

Любой математик скажет, что это бред.

Цитата:

Подобных безапелляционных утверждений в отношении произвольного вида финслеровых пространств я насмотрелся на несколько лет вперед.

Читайте определение многообразия. Любая точка имеет окрестность топологический изоморфную шару.

Цитата:

Там также все математики в унисон заявляли, что локально, все финслеровы пространства имеют метрику Минковского.

Это вы утверждали, а я наоборот опровергал.

Цитата:

Думаю, что примерно тоже самое и с "вашей" топологией на двойной плоскости.

Это единственная топология согласованная с прямой суммой и нормой. К тому же в случае ненулевой нормы для c, они не зависят от топологии.

Цитата:

Во всяком случае, мне... И причем - сильно..
Если у Вас чувства дискомфорта это не вызывает, могу только порадоваться за Вас.

Топология не виновна в вашем дискомфорте, просто не хватает понимания элементарных вещей.

Цитата:

На двойных числах вопрос с последним по прежнему считаю открытым и полагаю необходимым увязать топологию на этой плоскости с построением наших с Панчелюгой предфракталов. Ясно, что эта задача не для Вас. Вы просто не видите здесь проблемы. Будем искать тех, кто проблему увидет и захочет искать выходы из нее. :)

Да я ( думаю и любой другой честный математик) не могу согласиться грубыми математическими заблуждениями.

Цитата:

Про тривиальность связи алгебр поличисел размерности выше двух с линейными финслеровыми пространствами я от Вас слышал уже не раз. Вот только ни одной ссылки на обсуждение и описание этого факта в математической или какой другой литературе пока так и не увидал. Пожалуйста, приведите пару работ до наших с Гарасько, в которых это обстоятельство замечено и хотя бы в общих чертах проанализировано.

Я говорил, что в алгебраической теории чисел норма вводится таким образом. Можете еще смотреть во втором томе Зарисский, Самуэль "Коммутативная алгебра" о композитах колец. То, что норма не изотропная всем очевидно, поэтому они не рассматриваются в курсах алгебры, теории чисел с физической стороны.

Цитата:

Еще лучше, если дополнительно приведете ссылки и на способы описания таких финслеровых пространств, которые мы с Гарасько осуществляем при помощи обобщения понятия скалярного произведения на скалярное полипроизведение.

Тут по моему у Гарасько есть ссылки на Римана, на Рашевского.

Цитата:

Так не пойдет.. Такими утверждениями, что возможно кто-то где-то все уже давно перепробовал - доказывать правоту своей позиции не стОит. Просто, приведите конкретные ссылки на положительные результаты таких построений, а там видно будет.

Меня эти вопросы никогда особо не увлекали. Тем не менее я сразу вижу, что в том случае, когда перед степенями действительные коэффициенты множество Мандельброта в каждом сечении плоскостью проходящей через начало координат будет множеством Мандельброта с соответствующей для данной плоскости мнимой единицей.

Цитата:

Еще раз повторю, что затравочная квадратичная функция для множеств Жюлиа на комплексной плоскости - аналитическая, а в пространстве кватернионов - нет. Одной похожестью свойств мнимых единиц тут не обойдешься.

Я говорил о Мандельброте. Для Жюлиа в случае не попадания начальной точки в плоскость натянутой на действительную ось и вектор $c$ картина существенно изменится. При этом возникнет существенные сложности для обратной итерации. Поэтому лучше строить прямой итерацией. Я примерно представляю что получится, но не вижу особого смысла в их подробном описании.

Цитата:

Снова "сильный" аргумент. В интернете есть типовые программы построения "фракталов" на кватернионах методами прямых итераций, копирующими аналогичную процедуру на комплексной плоскости. Мы такие программы скачивали, да и свои писали. При увеличении числа итераций - границы "фрактального" множества не стабилизируются, как в комплексном случае, а буквально на глазах начинают таять. Можете сами проверить.. Это лучше, чем просто гадать.

Я и не гадаю, а просто вижу это.

Цитата:

Снова попрошу доказать Ваше утверждение. Вычислите, пожалуйста, в качестве примера квадратный корень из какого ни будь конкретного кватерниона со всеми четырьмя ненулевыми компонентами и заодно было бы интересно глянуть на геометрическую интерпретацию этих корней аналогично геометрической интерпретации квадратных корней из обычных комплексных или двойных чисел.

Это очевидно. На плоскости, натянутой на действительную ось и с вводится единственная с точностью до знака новая мнимая единица. При этом все вычисления не чем не отличаются от вычислений на комплексной плоскости с указанной мнимой единицей. Об этом упоминается и в некоторых учебниках по алгебре.

[Scholium]

Time писал(а):

Да, знаю, что часто именно евклидову метрику на плоскости двойной переменной пытаются вводить как естественную. Более того, я знаю, как это формально можно сделать. Точно также как аналогично можно поступить и с комплексной плоскостью, введя на ней псевдометрику двумерного псевдоевклидова пространства. Спрашивается только - ЗАЧЕМ так поступать?

Затем, чтобы иметь НОРМИРОВАННОЕ пространство. Как по мне ненормированные пространства это «плохие» пространства и лично я не вижу явной необходимостью заниматься ими. Только потому, что их физики «любят»? Физики много чего любят или не любят. На то они и физики :) . А математики должны оставаться математиками :) .

Time писал(а):

Почему в стандартном курсе ТФКП так не поступают и рассматривают совпадающие выражения для модуля числа и метрики? Либо давайте аналогичную свободу оставлять для комплексных чисел, либо договоримся и для двойных чисел считать модуль и метрическую функцию (псевдометрику) совпадающими. Это вопрос договоренностей. Я предпочитаю второй вариант.

В ТФКП модуль числа $\,| z | = \sqrt{z \bar{z}}$ и норма $\,|| z || = \sqrt{\Re^2(z) + \Im^2(z)}$ от действительной и мнимой частей числа $z$ как раз совпадают. Поэтому $\,| z |,~~z \in \mathbb{C}$, это не только модуль, но и (полноценная) норма. А в двойных числах это не так. Вам нравится ненормированное пространство? Мне не очень :) .

Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния $\rho(z_1, z_2) = || z_1 - z_2 ||$. Так что не совсем понятно что означает для Вас равенство / неравенство «модуля числа и метрики».

Time писал(а):

Цитата:

Двойные числа это не прямая сумма

Все, приехали.. Я уже перестал что либо понимать. :( Давайте хотя бы того же Розенфельда придерживаться, равно как и теоремы Вейерштрасса. Поскольку алгебра двойных гиперкомплексных чисел коммутативна и ассоциативна, ничем кроме как прямой суммой двух действительных алгебр она не может быть.

В данном случае я имел в виду дуальные числа :) . Для двойных чисел, надо было написать так:

«Двойные числа представимы как в виде прямой суммы (изоморфизм прямой суммы $\mathbb{R}^2$), так и в виде линейной оболочки (изоморфизм линейной оболочки (векторного пространства) $\mathbb{R}^2$), причем эти понятия эквивалентны».

Time писал(а):

В $C$ также можно, если захотеть, принять метрическую функцию не в виде суммы квадратов, а в виде разности. Тогда модуль и псевдометрика на $C$ также не будут совпадать (Как это сделать - другой вопрос. Но оно - кому ни будь надо? А если мы не далаем этого на $C$, то зачем подобной эквилибристикой заниматься на $H_2$? Я убежденный сторонник того, что бы подходы к $C$ и к $H_2$ были бы зеркально аналогичными. Поэтому, и модуль, и метрическая функция на $H_2$ НУЖНО принимать как совпадающие. В противном случае, легко получить сплошной бардак..

Наверное, Вы все-таки имеете в виду норму, а не метрическую функцию? Норма должна удовлетворять аксиомам нормы, в частности «свойству треугольника». А «разность квадратов» этому свойству не удовлетворяет. Я тоже «убежденный сторонник того, чтобы подходы к $\mathbb{C}$ и к $\mathbb{H}_2$ были бы зеркально аналогичными». Только следствия этого у нас почему-то разные :) .

Time писал(а):

Если Вы введете на плоскости двойной переменной метрику в виде суммы квадратов, то в качестве множеств Жюлиа и Мандельброта получите ровно те же самые, что и на комплексной плоскости кривульки. Зато, если на комплексных числах в качестве расстояний возьмете разность квадратов - то проблемы поиска гиперболических фракталов переместятся сюда. В результате вопрос существования гиперболообразных множеств Жюлиа и Манделброта все равно останется открытым. Между тем как при $c=0$ аналогия между "круглым" множеством Жюлиа на $C$ и "гиперболообразным" на $H_2$ - вполне отчетливо проглядывает. С этим даже РУст не спорит. :)

Поскольку обо всем этом говорится явно не строго, то пока не увижу доказательства, не поверю :) .

Time писал(а):

Давайте все же не заниматься чехардой, а согласимся с правилом именно выражение для модуля числа принимать в качестве естественной метрической формы соответствующего данным числам геометрического пространства. Причем это правило закрепить не только для комплексных и двойных чисел, но и для всех без исключения поличисел. В противном случае, мы никогда из трясины различных возможных вариантов не выберемся..

Если бы я понимал, о чем Вы говорите! Почему Вы так не любите язык формул? Дискуссии уже начинают смахивать на садо-мазо :) . По-моему, проще раз помучаться и написать формулы, чем десятки раз «пережевывать» двусмысленный текст.

Time писал(а):

На комплексной плоскости мы точно также как Вы предлагаете на двойной МОГЛИ БЫ рассматривать не только положительно определенную квадратичную норму, но и метрическую функцию в виде разности квадратов. Тут ведь Вы такую возможность не стараетесь использовать.. Зачем же двойную плоскость так насиловать? А когда перейдем к поличислам большего, чем 2 числа измерений, там вообще бездна различных ВОЗМОЖНЫХ вариантов НАЗНАЧЕНИЯ метрической функции появится. И чего? Все станем по очереди рассматривать как гипотетически приемлимые? Как хотите, а я в качестве естественного способа появления в пространстве ЛЮБЫХ поличисел метрической функции продолжу рассматривать исключительно выражения для их модулей. Об остальных возможных вариантах согласен просто помнить, как о гипотетических, но до поры до времени ненужных.. Как знать, может вообще удастся без этого обойтись (как обходятся на комплексных числах).

Я уже говорил, что модули поличисел не являются нормами. И я уже понял, что Вас устраивает изучение не нормируемых и не метризуемых (согласно ВСЕХ аксиом нормы и метрической функции) пространств. Для меня эти пространства слишком сложны и для восприятия и для изучения, чтобы начинать с низ изучение топологии поли- и гиперчисел. Если у Вас будет больше успехов, то интересно будет посмотреть. Правда останется еще вопрос доверия к достоверности полученных результатов.

Time писал(а):

Мешает не "плохая" метрика, а неправильное и неадекватное ее применение на плоскости $H_2$, которая по своей гармоничности и самосогласованности ничем не хуже комплексной плоскости, если над ней не совершать необдуманных насильственных действий. Если Вы плоскости двойной переменной насильно припишите евклидову норму - получится гибрид, который, быть может, в некоторых математических задачах и будет оказываться полезным, но только не в той, которую мы пытаемся решать для себя, а именно, сделать не только двойные числа, но и другие поличисла естественными помошниками в математическом моделировании реальных физических явлений. В частности, если мы с двойными числами связываем в качестве метрической функции именно разность квадратов, эти числа автоматом оказываются связанными с двумерной СТО, а если попробуем связать с метрикой сумму квадратов, то я не представляю, какую физику из такого уродца можно извлечь.. Вы сами - представляете?

Думаю, что модель СТО не единственно возможная. Даже в чисто техническом плане. Можно выйти на все результаты СТО и в эвклидовой метрике пространства времени, т.е. той модели пространства – времени, которая принята в классической механике. Правда математический аппарат там будет уже другой. Поясню примером из теории сложных систем. В этой теории есть утверждение, что одни и те же результаты можно получить принципиально разными способами. Если нас интересуют результаты СТО, а не факт наличия присутствия пространства Минковского, то эти результаты можно получить и без этого пространства. А вот какие результаты СТО являются надежно установленными и с какой точностью, то это большой вопрос. Больше похоже на то, что эта умозрительная теория.

В математике не может быть «вредных» объектов, ибо они самоценны, безотносительно к физическим и другим приложениям. Из того, что существует в математике, если и используется полпроцента, то это очень даже хорошо. Хотя не все, что нужно физикам, есть в математике. Но физики народ нестрогий и когда они этот свой менталитет привносят в математику, то это не вызывает особого восторга. Математик говорит, что нужна классификация, теоремы существования, непротиворечивости, единственности. А физик ему отвечает, та нафига они мне? Мне нужна готовая формула, чтобы все считала. Математик, формулу нужно обосновать, найти границы ее применимости, порядок точности. Физик, да ерунда, навешаем на формулу десяток поправочных коэффициентов, проведем сотню проверочных экспериментов и пойдет и так. Почти как в анекдоте, физик говорит, все нечетные числа простые. Действительно, 1 можно считать простым, 2 – ошибка эксперимента, 3, 5, 7 – простые, думаю, что эти эксперименты убедительно доказали наше утверждение. Следовательно, все нечетные числа простые. Да еще добавит, математики, ну такие зануды, ну такие бюрократы :) . Вот она практическая формула взаимоотношений физика и математика :) . А у них просто разный менталитет.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Я же, что на базе такой операции МОЖНО ЗАДАТЬ метрику и топологию, причем различными способами.

Ну, тогда будьте последовательны и рассматривайте аналогичные варианты на комплексной плоскости. Почему Вы хотите использовать такую ВОЗМОЖНОСТЬ где угодно, но только не на $C$? Там также формально ни что не мешает поступать аналогично различными способами..

Наши проблемы это разное понимание основных математических процедур. Я вот думаю. Давайте прекратим споры и просто прочтем еще раз одинаковые учебники. Это курсы линейной алгебры, высшей геометрии, теории операторов (функциональный анализ), ТФКП, книгу Дрозд Ю.А. Кириченко, В.В. - Конечномерные алгебры и др. А потом продолжим этот наш спор. Возможно тогда, в нем уже просто не будет потребности.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Пространство $R^2$ понимается двояко

Не согласен его так понимать. Именно из-за этой двоякости и происходит та постоянная путаница, о которой я Вам говорил. Если это векторное пространство, то на нем нет операции умножения вектора на вектор. А если это алгебра (даже в виде прямой суммы) - то есть. Если это векторное пространство, то о совпадении его с $H_2$ не может быть и речи. А если алгебра, да еще понимаемая как прямая сумма двух действительных алгебр, то да, такая алгебра изоморфна $H_2$.
Кстати обратите внимание на обозначения в книге 2003 года Розенфельда. Тот под $R^2$ понимает пространство с евклидовой метрикой, а пространство с псевдоевклидовой обозначает как ${R_1}^2$. К нему в данном плане у меня нет претензий, равно как и к тому, что алгебру $H_2$ он понимает как изоморфную прямой сумме двух действительных алгебр.

Хорошо, встанем на классическую точку зрения, что $\mathbb{R}^2$ это векторное (линейное) пространство. И писать его полные определения. Так как в математической литературе даже это понятие описывается двумя способами:

$\mathbb{R}^2 = \{ (x, y) \left |~x, y \in \mathbb{R} \right . \}$

и

$\mathbb{R}^2 = \{ x e_1 + y e_2 \left |~x, y \in \mathbb{R},~~e_1 = (1, 0),~~e_2 = (0, 1) \right . \}$.

Легко видеть, что эти определения эквивалентны. Поэтому можно пользоваться любым из них.

Если мы будем использовать это векторное пространство с какой-нибудь алгеброй и топологий, то просто будем указывать это в определении. Например, для алгебры прямой суммы $\mathbb{R}^2$ имеем

$\mathbb{R}_{\oplus}^2 = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \left |~(x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2),~~(x_1, y_1) (x_2, y_2) = (x_1 x_2, y_1 y_2) ,~~\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)} = (\frac{x_1}{x_2}, \frac{y_1}{y_2}) \right . \}$,

при дополнительном условии, что деление на нуль неопределенно;

$\mathbb{R}_p^2 = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \left |~|| (x, y) ||~= (| x |^p + | y |^p)^{\frac{1}{p}},~~1 \le p \le \infty \right . \}$;

или

$\mathbb{R}_{\oplus p}^2 = \{ (x, y) \in \mathbb{R}_{\oplus}^2 \left |~|| (x, y) ||~= (| x |^p + | y |^p)^{\frac{1}{p}},~~1 \le p \le \infty \right . \}$.

С подобными явными определениями у нас проблем не должно возникнуть.

Кстати, теперь можно точнее записать утверждение, что

$\mathbb{H}_2 \simeq \mathbb{R}_{\oplus}^2$.

Эта запись Вам понятна?

Поэтому, пишите чаще определения подобного рода и требуйте их от меня, если что непонятно и мы вполне будем понимать друг друга.

[Руст]

Цитата:

Норма должна удовлетворять аксиомам нормы, в частности «свойству треугольника».

Финслеровы пространства, я имею в виду только те, где имеется переход (так называемое преобразование Лежандра) от скоростей (касательного пространства) к импульсам (кокасательное пространство) бывают только двух видов. 1. Евклидова типа, когда множество $ds<a$ выпуклое и
2. Минковского типа, когда множество $ds>a$ выпукло.
В частности, $ds^2=dx_1^2+dx_2^2-dx_3^3-dx_4^2$ не является финслеровым.
В первом случае выполняется неравенство треугольника и норма имеет привычные свойства.
Во втором случае выполняется неравенство треугольника в обратную сторону, если $r(x,y)>0,r(y,z)>0$ то $r(x,z)\ge r(x,y)+r(y,z)$
Для физики вторые предпочтительны. Так как подставляя вместо импульсов операторы $i\frac{\partial}{\partial x}$ мы получим гиперболические по $t$ (псевдодифференциальные) уравнения (вместо эллиптических). Гиперболичность по времени по сути есть математическое выражение принципа причинности из физики. Так что если интересуетесь приложениями к физике так или иначе приходится иметь дело с финслеровыми пространствами второго типа.

[Scholium]

Time писал(а):

Согласен, гипотетически можно при заданных правилах коммутативно-ассоциативного умножения векторов пристраивать к алгебре, чуть ли не от балды, метрическую функцию, а в добавок к этому еще и различные топологии. Возможно даже, что кому то такое "разнообразие" возможностей греет душу и создает ощущение бездны интересных вариантов. Но только не для меня. Я уже говорил, что имею прагматичный стиль мышления и беру на вооружение те приемы, которые хотя бы единожды оправдали свое применение. В данном случае таким примером для меня является триединство модуля, метрики и топологии в алгебре комплексных чисел. Именно такого же триединства я всеми силами буду придерживаться и на других поличислах, какими бы соблазнами различных возможностей математики меня не пытались заинтриговать. Я прекрасно вижу, откуда ростут ноги у подобных приемов (дело в том, что с коммутативно-ассоциативными алгебрами как математической основой конкретного вида линейных финслеровых пространств из них практически никто не работал и что самое печальное - не хотят работать, отгораживаясь фразами, мол тут все тривиально, поскольку прямая сумма и никаким финслером тут не пахнет) и на сколько оказались печальными последствия. Попробуйте назвать хоть одну ссылку на работу в которой алгебры связанные с прямыми суммами комплексных и действительных полей рассматривались через соответствие с конкретными линейными финслеровыми пространствами. Я такой не знаю ни одной. А Вы говорите - возможности.. Эти многочисленные варианты, почему-то, приводят только к одному, все рассматривают лишь квадратичные метрики и ни один не пошел по финслеровским вариантам. Так что, все это только на словах, что бы на деле рассматривать лишь наиболее привычные и понятные варианты. А мне привычного не нужно. Мне нужно, что бы было естественно, красиво и содержательно, причем так, что бы не выкинутыми оказались возможности использования бесконечных групп симметрий, в том числе конформных.

Вопросов бы особых не было бы, если бы Вы проделывали все математические выкладки достаточно аккуратно. Я же Вам говорил, математик согласится рассматривать в принципе любой математический объект, если этот объект определен корректно. В Вашем «триединстве модуля, метрики и топологии в алгебре комплексных чисел» не достаточно все ясно. Посвятите этому «триединству» отдельную статью, пусть ее прорецензируют профессиональные математики и тогда у нас появится «краеугольный» камень, на который можно «опереться» :) . У Вас достаточно математического опыта, чтобы «быстренько» наверстать отдельные детали относительно определений и ссылок на нужные теоремы. По крайней мере, на это у Вас уйдет времени не больше, чем у меня. Мне самому надо несколько месяцев, чтобы вернуться на уровень хотя бы второго-третьего курса. А Ваша настойчивость и упорство достойны восхищения :) .

Я Вам скажу честно, почему лично я не тороплюсь «пойти по финслеровским вариантам». Как говорил Станиславский: «Не верю!» Вот и я, просто-напросто не верю, что финслерова метрика это правильный путь. Она мне кажется «притянутой за уши» :) . Хотя сама идея поли- и гиперчисел мне кажется здравой.

Time писал(а):

Мне казалось, что приступая к диалогу Вы прочитали соответствующую главу книги Гарасько "Геометрия невырожденных поличисел". Там все определения и способы нашего подхода к ним четкр представлены. Возможно и не в привычном для математика формате лемм и теорем, но, на мой взгляд, вполне приемлимым образом.

Нет, почему же, я смотрел Вашу книгу. Это про нее я говорил, что «хорошо, но мало!». Только эта теоретическая часть должна быть написана в соавторстве с математиком(-ами). Слишком уж там много нестрогих рассуждений. Вашу бы работу да на рецензию А. И. Штерну из МГУ, это тому, который сказал, что в 22-ом издании Куроша «Высшая алгебра» всего две(!) ошибки :) . А где нестрогость, там и неточность, а может быть даже и ошибочность в чем-то. Если Вы можете обратится к Александру Исааковичу Штерну, то я очень рекомендую пообщаться с ним. Он очень строгий, но справедливый и равного ему и Л.И. Камынину еще поискать по всему миру. По крайней мере он еще числиться в списках сотрудников мехмата МГУ ( http://www.math.msu.ru/content_root/structure/staff.jsp ). Естественно, он не оставит камня на камне от Ваших теорий, но я уверяю, все будет сделано честно и добросовестно. Главное, конечно, уговорить его взять Ваши работы на рецензии. А если повезет, то он подскажет правильное направление Ваших поисков. Ну, а если он появится среди Ваших соавторов, то Ваши работы можно смело отсылать на Нобелевскую премию (если бы ее, конечно, давали математикам) :) . Я вот буквально сейчас навел справки по нему в Интернете. Информации о нем очень мало, он так и остался замкнутым, каким и был ранее. Но, все-таки, о нем упоминается в http://modernlib.ru/books/tahogodi_aza_ ... v/read_34/ и даже там есть его фото: http://modernlib.ru/books/tahogodi_aza_ ... v/_099.jpg . А в одной из его опубликованных работ я даже обнаружил его e-mail 2005 года: [e-mail] . Он, кстати, и по ТФКП очень крутой спец.

Time писал(а):

О такой возможности мне также пркрасно известно, как и о самых различных вариантах пристойки к поличислам различных не совпадающих с модулем метрических функций и различных топологий. Опять возникает вопрос - А ЗАЧЕМ? Что бы было побольше всяких разных вариантов? Да их количество сразу неимоверно возрастает. Кому как, но мне как прикладнику это не нужно. Меня вполне устроят частные случаи фракталов, которые строятся ПО ОБРАЗУ И ПОДОБИЮ алгебраических фракталов на тех же комплексных числах. А то что на евклидовой плосокости можно понастроить разных снежинок Коха и ковров Серпинского с разными древовидными фракталами - мне это не интересно и я принципиально не понимаю как это можно связать с физикой. А вот когда получаются фракталы в тесной связи не просто с различными алгебрами и пространствами, а в соблюдении на каждом шаге итерационного процесса непрерывных нелинейных (линейные также могут быть, но их не много и они не сильно интересные) симметрий, причем не взявшихся из ниоткуда, а связанных с метрическими и нвариантами пространства возникшего на базе исходной алгебры поличисел - вот тогда да, я понимаю как отсюда рано или поздно возникнут параллели с законами сохранения самых разных яизически интерпретируемых величин.
Переубедить меня можно, в частности, на примере тех же кватернионов. У них как известно, алгебра некоммутативная, а группа конформных преобразований соответствующего четырехмерного евклидова пространства - всего 15-параметрическая. Не смотря на, казалось бы, естественную связь с комплексными числами, на кватернионах, на сколько мне известно, еще никому не удалось построить непротиворечивым образом четырехмерных обобщений ни множества Мандельброта, ни множеств Жюлиа. Те фракталоподобные картинки, которые можно в связи с упоминанием алгебры кватернионов встретить в интеренете при ближайшем рассмотрении оказываются фикцией, так как стОит увеличить число итераций при построении как все в буквальном смысле рассыпается в дым.. Да и метод обратных итераций в отличие от комплексных и двойных чисел к ним не применим. Попробуйте на кватернионах повычислять корни, сперва из квадратичной функции, потом на чтевртой степени, потом на восьмой и т. д. Может так понятнее станет - о чем я...

Ну да, вопрос конечно философский :) . Однако, я интересовался фракталами не более Вашего, однако идея самоподобия меня очень сильно задела. Откровенно говоря, даже больше, чем идея поли- и гиперчисел. Она отражает алгоритмическую сущность мироздания. А это куда круче, чем законы мироздания. Ибо, уверен, законы мира программируются. . . Но не буду уходить в сторону эзотерики :) .

Time писал(а):

P.S. В теме по физике я привел примеры как выглядят мнимые единицы изотропного базиса алгебры ${C}\oplus{C}$ представленных в виде матриц 4x4, а также две таблицы умножения базисных единиц, одна для изотропного варианта, другая для "ортонормированного".

Да, я видел и уже ответил :) .

[Time]

Scholium в сообщении #316592 писал(а):

Затем, чтобы иметь НОРМИРОВАННОЕ пространство. Как по мне ненормированные пространства это «плохие» пространства и лично я не вижу явной необходимостью заниматься ими. Только потому, что их физики «любят»? Физики много чего любят или не любят. На то они и физики :) . А математики должны оставаться математиками :) .

А что прикажете делать тем, кто занимается математической физикой? :)

Предлагается исследовать не пространства без нормы, а такие, в которых на место нормы приходит несколько иная, но играющая концептуально ту же роль, конструкция. Причем это существенно отличное от нормы понятие - вводить не с потолка и даже не после серьезных размышлений, а отыскивая то определение, которое только и может приводить к гармонии с произведениями конкретной алгебры поличисел.

Scholium в сообщении #316592 писал(а):

В ТФКП модуль числа и норма от действительной и мнимой частей числа как раз совпадают. Поэтому , это не только модуль, но и (полноценная) норма. А в двойных числах это не так. Вам нравится ненормированное пространство? Мне не очень :) .

Так на двойных числах все ровно тоже самое. Только тут и модуль другой, и объект, заменяющий норму также другой. Но логически все связано столь же естественно и неразрывно как на комплексных числах. Ерунда получается только тогда, когда кто-то пытается брать совершенно другое правило произведения чисел, и вводить над ними из каких то сторонних соображений либо величину модуля, либо понятие заменяющее норму, либо еще что-то. На комплексных числах потому все стройно и получилось, что для них все соседствующие понятия оказались введенными именно так, как следует из алгебры. Если на двойных числах поступить точно также, а не приписывать им не свойственную их алгебре евклидову норму и евклидову метрику, то также все должно получаться красиво, естественно и содержательно.

Иными словами можно выразиться так: в ТФДП модуль и выражение для полунормы от действительной и мнимой частей двойного числа - совпадают. Это же очевидно, если только не навязывать им несвойственного плоскости двойной переменной понятия нормы..

Тоже самое касаетсяя и других поличисел.

Цитата:

Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния . Так что не совсем понятно что означает для Вас равенство / неравенство «модуля числа и метрики».

На двойных числах роль нормы переходит к другому понятию. Оно, кажется, носит название полунормы. Полагаю, что если захотеть (только думаю этого не нужно делать) - любое пространство с полунормой можно также превратить в псевдометрическое. Кстати псевдоевклидовы пространства именно такими псевдометрическими и являются. А есть ведь еще и псевдофинслеровы..
Не стОит абсолютизировать достоинства нормы и метрики. Достоинства полунорм и псевдометрик - ничуть не хуже (если, конечно, не сводить все к единожды принятым правилам).

Scholium в сообщении #316592 писал(а):

Наверное, Вы все-таки имеете в виду норму, а не метрическую функцию? Норма должна удовлетворять аксиомам нормы, в частности «свойству треугольника». А «разность квадратов» этому свойству не удовлетворяет. Я тоже «убежденный сторонник того, чтобы подходы к и к были бы зеркально аналогичными». Только следствия этого у нас почему-то разные :)

Норма - это норма. Полунорма - полунорма.. Каждая как фундаментальное понятие удовлетворяет своей системе аксиом. И так далее. Есть метрики, а есть метрические функции, аксиомам метрики не соответствуют аксиомы метрических функций связанных с поличислами. У каждого понятия свой собственный набор аксиом. Если норма удовлетворяет правилу треугольника, то для полунормы справедливо обратное правило треугольника. Тут "гипотенуза" прямоугольного треугольника не больше, а меньше любого из двух катетов. И этому свойству уже не удовлетворяет сумма квадратов.. Именно это я и понимаю по зеркально аналогичным подходом, а не дикую смесь - это берем отсюда, а вот это из другой оперы, только потому, что так больше вариантов получается.

Scholium в сообщении #316592 писал(а):

Если бы я понимал, о чем Вы говорите! Почему Вы так не любите язык формул? Дискуссии уже начинают смахивать на садо-мазо :) . По-моему, проще раз помучаться и написать формулы, чем десятки раз «пережевывать» двусмысленный текст.

К сожалению, язык формул - не мой. Я понимаю, что прозвучит это несерьезно, но мой язык связан с образами. У Гарасько с формулами на много лучше, равно как у других физиков и даже у пары математиков, которые согласились с нашей группой посотрудничать. Но для меня формулы - примерно как английский. Понимать - многое понимаю, а вот сам говорить на нем почти не могу. :)
Да и не ставил я перед собой никогда подобной задачи. Воспринимайте меня просто как топ-менеджера некоего проекта, в котором математика и физика играют довольно важную роль, но много и других моментов, в частности, инженерных, организационных, финансовых, наконец. Все одинаково хорошо знать и уметь практически невозможно, да и, думаю, не нужно. Во всяком случае, я надеюсь, что мне не нужно становиться ни профессиональным физиком, ни математиком.. Хотя понимать, о чем говорят профессионалы, естественно, необходимо..

Scholium в сообщении #316592 писал(а):

Я уже говорил, что модули поличисел не являются нормами. И я уже понял, что Вас устраивает изучение не нормируемых и не метризуемых (согласно ВСЕХ аксиом нормы и метрической функции) пространств. Для меня эти пространства слишком сложны и для восприятия и для изучения, чтобы начинать с низ изучение топологии поли- и гиперчисел. Если у Вас будет больше успехов, то интересно будет посмотреть. Правда останется еще вопрос доверия к достоверности полученных результатов.

Да, практически для всех поличисел их модули не являются нормами в классическом тех понимании. Равно как и связанные с ними метрики также оказываются необычными. Однако это вовсе не означает, что на месте классических нормы и метрики не возникают их естественные заменители, которые, во всяком случае каждый для своего поличислового пространства не оказывается даже более подходящими объектами, чем обычные. Поскольку с именно с такими понятиями и свойствами я и имел в основном дело на протяжении последних тридцати лет, они мне не представляются сложными ни для восприятия, ни для изучения. Они для меня не менее естественны и просты, чем евклидовы представления для обычного человека, даже если тот не шибко рабирается в математических деталях. Думаю, если б любого человека заставить как и меня чуть ли не всю жизнь ориентироваться лишь в пространствах с финслеровыми метриками связанными с поличислами, тот бы меня понимал с полуслова. Во всяком случае, с теми физиками, с кем мы сотрудничаем порядка десяти лет именно так все и происходит, хотя мой язык по-прежнему на много менее строг, чем у них, а их собственный с точки зрения любого математика также оставляет желать лучшего.

Не доверять результатам Вы имеете полное право, до тех пор пока (и если) не убедитесь в том, что все может быть изложено вполне строго и на понятном Вам языке..

Scholium в сообщении #316592 писал(а):

Наши проблемы это разное понимание основных математических процедур. Я вот думаю. Давайте прекратим споры и просто прочтем еще раз одинаковые учебники. Это курсы линейной алгебры, высшей геометрии, теории операторов (функциональный анализ), ТФКП, книгу Дрозд Ю.А. Кириченко, В.В. - Конечномерные алгебры и др. А потом продолжим этот наш спор. Возможно тогда, в нем уже просто не будет потребности.

И рад бы, но не получится. Некоторые параграфы, если будет нужно я еще готов прочитать, особенно, если те как у Розенфельда будут касаться алгебр с умножением векторов, желательно с коммутативно-ассоциативным.. Однако на все остальное у меня уже нет ни времени, ни сил. К тому же, как я Вам говорил, мне приходится заниматься еще и многими другими функциями. Предлагаю немного иной вариант. Вы все же попробуйте, не особенно обращая внимания на режущие слух моменты, более внимательно прочитать книгу Гарасько и наши с ним статьи. Возможно, это также поможет снять многие из возникающих разногласий и споров..

Scholium в сообщении #316592 писал(а):

Эта запись Вам понятна?

Поэтому, пишите чаще определения подобного рода и требуйте их от меня, если что непонятно и мы вполне будем понимать друг друга

В таком виде и в такой постановке - у меня недоумений не возникает. Теперь у Вас также появился дополнительный значек к $R^2$ и это снимает все мои вопросы.

Scholium в сообщении #316983 писал(а):

У Вас достаточно математического опыта, чтобы «быстренько» наверстать отдельные детали относительно определений и ссылок на нужные теоремы. По крайней мере, на это у Вас уйдет времени не больше, чем у меня. Мне самому надо несколько месяцев, чтобы вернуться на уровень хотя бы второго-третьего курса. .

Если Вы или кто-то другой снимет с меня одну из главных на сегодня проблем, а именно в привлечении финансов (не только для решения математических и физических задач, но и тех что я вижу встанут в дальнейшем), тогда, пожалуй, можно было б и подучиться по математике и физике. Хотя, честно говоря в таких переговорах как наши с Вами и в многих других я также далеко не все пропускаю мимо ушей. :) Так что, определенное образование так и так нарабатывается..

Scholium в сообщении #316983 писал(а):

Я Вам скажу честно, почему лично я не тороплюсь «пойти по финслеровским вариантам». Как говорил Станиславский: «Не верю!» Вот и я, просто-напросто не верю, что финслерова метрика это правильный путь. Она мне кажется «притянутой за уши» :) . Хотя сама идея поли- и гиперчисел мне кажется здравой.

Я так понимаю, что финслеровой геометрией даже в классическом ее понимании - Вы особенно и не занимались, а уж в том, в котором она связана с поличислами - и подавно. Я за последние шесть лет пообщался вживую с десятками специалистов по финслеровой геометрии со всего мира и еще не встречал ни одного, который бы как Вы сделали предположение, что финслеризм (правда очень частного вида) к поличислам притянут за уши. И это при том, что они сами занимаются большую часть времени совсем иным пониманием финслеровых пространств. К тому же от Вас и не требуется принимать что-то на веру. Позанимайтесь спокойно сами алгебрами гиперкомплексных чисел, можно и некоммутативными, лишь бы не особенно причудливыми (судя по Вашему отношению к неассоциативным алгебрам Вы и сами туда не стремитесь влезать), потом, думаю, сами разберетесь, что здесь к чему и уместны ли финслеровы метрики (естественно в их линейном или "плоском" частном виде).

Scholium в сообщении #316983 писал(а):

Если Вы можете обратится к Александру Исааковичу Штерну, то я очень рекомендую пообщаться с ним. Он очень строгий, но справедливый и равного ему и Л.И. Камынину еще поискать по всему миру. По крайней мере он еще числиться в списках сотрудников мехмата МГУ

Спасибо за рекомендацию. Попробую при случае воспользоваться. Самое трудное тут это привлечь к своим работам подобных профессионалов. Хоть Громов и разговаривал со мной около часа, не думаю, что мне удалось заинтересовать его на столько, что бы он захотел провести подобный разбор хоть одной нашей с Гарасько статьи. Боюсь, тоже самое будет с любым большим математиком, во всяком случае до тех пор, пока кто-то не "переведет" наши более физические построения на "нормальный" для математиков язык. Но пробовать, естественно нужно продолжать и я постараюсь воспользоваться подсказываемым Вами ходом..

Scholium в сообщении #316983 писал(а):

Ну да, вопрос конечно философский :) . Однако, я интересовался фракталами не более Вашего, однако идея самоподобия меня очень сильно задела. Откровенно говоря, даже больше, чем идея поли- и гиперчисел. Она отражает алгоритмическую сущность мироздания. А это куда круче, чем законы мироздания. Ибо, уверен, законы мира программируются. .

Целиком согласен. Уже из-за одного этого совпадения во взглядах на фракталы нам есть что с Вами обсуждать..

[Scholium]

Time писал(а):

А что прикажете делать тем, кто занимается математической физикой? :)

Ту матфизику, которую я учил, проблем с нормами не было. Однако «я не скажу про всю Одессу» :) ,
Может быть нужна и псевдонорма. Тогда должны быть ее аксиомы, объяснение преимуществ и недостатков, т.е. что-то типа рекламного буклетка. Иначе будет постоянное непонимание со стороны тех, кто с ней не знаком.

Time писал(а):

Так на двойных числах все ровно тоже самое. Только тут и модуль другой, и объект, заменяющий норму также другой. Но логически все связано столь же естественно и неразрывно как на комплексных числах. Ерунда получается только тогда, когда кто-то пытается брать совершенно другое правило произведения чисел, и вводить над ними из каких то сторонних соображений либо величину модуля, либо понятие заменяющее норму, либо еще что-то. На комплексных числах потому все стройно и получилось, что для них все соседствующие понятия оказались введенными именно так, как следует из алгебры. Если на двойных числах поступить точно также, а не приписывать им не свойственную их алгебре евклидову норму и евклидову метрику, то также все должно получаться красиво, естественно и содержательно.

Вот опять, вы говорите свою точку зрения, а я свою. Вы не соглашаетесь с моей, а я с Вашей. По-моему, очевидно, что на таком уровне мы ничего друг другу не докажем. Нужен четкий текст, без эмоций, без слов «естественный» или «противоестественный». Т.е. ввод, определение, свойства. Любое нововведение всегда делается для чего-то, просто нужно научиться это «что» и «чего-то» проговаривать четче и не надеется, что все прочитали Ваши статьи за несколько лет, так как это малореально.

Time писал(а):

Иными словами можно выразиться так: в ТФДП модуль и выражение для полунормы от действительной и мнимой частей двойного числа - совпадают. Это же очевидно, если только не навязывать им несвойственного плоскости двойной переменной понятия нормы..

Опять некорректные формулировки. Нет такого понятия норма или полунорма «от действительной и мнимой частей». Есть норма или полунорма от всего числа, а есть отдельно действительная и мнимая часть от всего числа. Далее, полунорма это всего лишь ослабление первой аксиомы нормы, когда допустимы подпространства с нулевой нормой. А факторпространство по этому подпространству уже будет с полноценной нормой. У Вас, скорее всего речь идет о псевдонорме, т.е. когда не выполняется третья аксиома нормы, а именно неравенство треугольника. Значит нужно четко показать, что допустим, 1-я и 2-я аксиомы нормы выполняются, а 3-я заменяется на другую. . .

Time писал(а):

На двойных числах роль нормы переходит к другому понятию. Оно, кажется, носит название полунормы. Полагаю, что если захотеть (только думаю этого не нужно делать) - любое пространство с полунормой можно также превратить в псевдометрическое. Кстати псевдоевклидовы пространства именно такими псевдометрическими и являются. А есть ведь еще и псевдофинслеровы..
Не стОит абсолютизировать достоинства нормы и метрики. Достоинства полунорм и псевдометрик - ничуть не хуже (если, конечно, не сводить все к единожды принятым правилам).

Вот видите, «кажется»! Нет, у Вас не полунорма, а псевдонорма, требующая доопределения. Итак, фундаментальные вещи и причина фундаментальных разногласий требует все же четкого их восприятия. Поскольку Вы настойчиво предлагаете собственные понятия, то очень странно, что Вы даете четких определений и свойств (аксиом) псевдонормы и псевдометрики.

Time писал(а):

Норма - это норма. Полунорма - полунорма.. Каждая как фундаментальное понятие удовлетворяет своей системе аксиом. И так далее. Есть метрики, а есть метрические функции, аксиомам метрики не соответствуют аксиомы метрических функций связанных с поличислами. У каждого понятия свой собственный набор аксиом. Если норма удовлетворяет правилу треугольника, то для полунормы справедливо обратное правило треугольника. Тут "гипотенуза" прямоугольного треугольника не больше, а меньше любого из двух катетов. И этому свойству уже не удовлетворяет сумма квадратов.. Именно это я и понимаю по зеркально аналогичным подходом, а не дикую смесь - это берем отсюда, а вот это из другой оперы, только потому, что так больше вариантов получается.

Про норму и полунорму я могу прочесть в любом учебнике по функциональному анализу и не только. Про полунорму я уже говорил, Ваше представление о ней не верно. Если я не ошибаюсь, то неравенство треугольника отражает свойство выпуклости пространства. Если справедливо «обратное правило треугольника», то это говорит, по-видимому, что пространство «впукло». Если ни то, ни се, то ни выпукло, ни «впукло». Именно поэтому у этих (не выпуклых) пространств «плохая» (сложная) геометрия. С плохими геометриями тяжело работать. По крайней мере, это занятие для профессиональных математиков. Нематематики там «стопудово» начудят.

Time писал(а):

К сожалению, язык формул - не мой. Я понимаю, что прозвучит это несерьезно, но мой язык связан с образами. У Гарасько с формулами на много лучше, равно как у других физиков и даже у пары математиков, которые согласились с нашей группой посотрудничать. Но для меня формулы - примерно как английский. Понимать - многое понимаю, а вот сам говорить на нем почти не могу. :)
Да и не ставил я перед собой никогда подобной задачи. Воспринимайте меня просто как топ-менеджера некоего проекта, в котором математика и физика играют довольно важную роль, но много и других моментов, в частности, инженерных, организационных, финансовых, наконец. Все одинаково хорошо знать и уметь практически невозможно, да и, думаю, не нужно. Во всяком случае, я надеюсь, что мне не нужно становиться ни профессиональным физиком, ни математиком.. Хотя понимать, о чем говорят профессионалы, естественно, необходимо..

Тогда Вы должны быть готовы к тому, что Вас постоянно будут «не понимать» и воспринимать очень критически. Пример, наша, с Вами дискуссия. Мой уровень сейчас практически сравним с Вашим. Многое Вы даже знаете больше, просто потому, что постоянно «варитесь» в этой среде, а я за 20 лет если и сделал пару контрольных первокурсникам, то и это вся моя математика. Остальное напрочь забыл. Я тоже могу говорить очень нестрого и даже говорю, потому что темп дискуссии требует ответа, а я еще не успел проконсультироваться по учебникам. Но все эти места я «чувствую» и внутренне готов к критике. Вот Руст иногда делает замечания, на которые, если я не отвечаю, то согласен. Однако я не буду очень настойчиво и упорно продвигать математические идеи, которые не смогу подкрепить формальными выкладками. А Вы как раз с очень большим упорством двигаете свою линию, но которую не можете достаточно обосновать и к тому же не очень воспринимаете чужие аргументы. Если не согласны с аргументами – ищите ошибки, а если настаиваете на своем, то подкрепляйте свои тезисы явными определениями и формулами. Иначе это будет неквалифицированная дискуссия. А как топ-менеджер Вы можете потребовать от своих сотрудников придерживаться более строгого стиля изложения. Хотя сама манера письма может быть вольной и свободной, но формальные моменты должны быть непротиворечивыми и четко проговариваться. Определитесь с рецензентами- математиками, только после подписи которых, публикации должны иметь возможность «выходить в свет». Если последует формальная критика, то пусть ответы дает математик – рецензент. Тем самым Вы сразу повысите уровень своих публикаций. Введите некий стандарт публикации. Как у тех же диссертаций. Хотя я не призываю копировать его с диссертаций (там много бюрократизма), это просто пример. Лучше всего выбрать в качестве образца несколько качественных статей и других публикаций и ориентироваться на них. Впрочем, Вам виднее.

Time писал(а):

Предлагаю немного иной вариант. Вы все же попробуйте, не особенно обращая внимания на режущие слух моменты, более внимательно прочитать книгу Гарасько и наши с ним статьи. Возможно, это также поможет снять многие из возникающих разногласий и споров..

Вы делаете упор на псевдонормы и псевдометрики, использование которых, как по мне, недостаточно аргументировано. Собственно алгебраического анализа поличисел у Вас нет. Наверное, это разногласие уже концептуальное. Ибо пока я не разберусь с алгеброй поличисел, я не хочу заниматься их топологией, особенно неклассической.

Time писал(а):

Я так понимаю, что финслеровой геометрией даже в классическом ее понимании - Вы особенно и не занимались, а уж в том, в котором она связана с поличислами - и подавно. Я за последние шесть лет пообщался вживую с десятками специалистов по финслеровой геометрии со всего мира и еще не встречал ни одного, который бы как Вы сделали предположение, что финслеризм (правда очень частного вида) к поличислам притянут за уши. И это при том, что они сами занимаются большую часть времени совсем иным пониманием финслеровых пространств. К тому же от Вас и не требуется принимать что-то на веру. Позанимайтесь спокойно сами алгебрами гиперкомплексных чисел, можно и некоммутативными, лишь бы не особенно причудливыми (судя по Вашему отношению к неассоциативным алгебрам Вы и сами туда не стремитесь влезать), потом, думаю, сами разберетесь, что здесь к чему и уместны ли финслеровы метрики (естественно в их линейном или "плоском" частном виде).

Ну да, чтобы заниматься финслеровой геометрией нужны веские основания. Которые у Вас есть, а у меня нет.

Time писал(а):

Спасибо за рекомендацию. Попробую при случае воспользоваться. Самое трудное тут это привлечь к своим работам подобных профессионалов. Хоть Громов и разговаривал со мной около часа, не думаю, что мне удалось заинтересовать его на столько, что бы он захотел провести подобный разбор хоть одной нашей с Гарасько статьи. Боюсь, тоже самое будет с любым большим математиком, во всяком случае до тех пор, пока кто-то не "переведет" наши более физические построения на "нормальный" для математиков язык. Но пробовать, естественно нужно продолжать и я постараюсь воспользоваться подсказываемым Вами ходом..

Дело в том, что А.И. Штерн «попроще» будет. Где-то в Интернете я встретил его неформальную запись, что он всего лишь «препод по матану». Он не из зазнавшихся академиков. Я даже не знаю доктор ли он физмат наук. В мои времена он был обычным доцентом. Но меня всегда удивляла сила его ума и не очень высокий социальный статус. Он постоянно имеет дело со студентами. И очень ценит тех, кто любит математику. У меня с ним сложились достаточно дружеские отношения после того, когда я единственный из нашей группы решил предложенную им задачу из списка домашнего задания. Только на решение этой задачи я потратил часов 8 времени, а таких задач было задано порядка 30. Правда, то была самая сложная задача из списка. Но эта дружба не помешала ему поставить мне единственную двойку, за все время обучения в МГУ на экзамене по матану. Осенью я, правда, пересдал, но все лето был как на иголках. На зачеты он давал задачи, которые мы решали неделями. Его слова: «Не надейтесь, что тройной интеграл Остроградского-Гаусса будет содержать какой-нибудь простенький ответ, типа минус одна вторая. Рассчитываете на рациональную дробь, несократимый вариант которой будет содержать по 6-7 цифр в числителе и знаменателе». И еще: «Если для решения зачетной задачи вам предстоит сделать сто страниц математических выкладок, то это не должно вас смущать». С ним было трудно, но я его очень уважаю и ценю. Думаю, что если Вы подойдете к нему в МГУ со студентами и попросите уделить Вам пару минут времени, то он не откажет. Ибо математику он очень любит. А Вы так и можете сказать, что много лет занимаете коммутативными числовыми алгебрами с делителями нуля и хотите узнать его мнение об этом направлении в математике, так как Вам его рекомендовал его бывший студент, которого он обучал матану в 1985-1987 годах.

[Руст]

Цитата:

Далее, полунорма это всего лишь ослабление первой аксиомы нормы, когда допустимы подпространства с нулевой нормой. А факторпространство по этому подпространству уже будет с полноценной нормой.

Вектора с нулевой нормой не образуют подпространство. Из обратного (строгого, которое выполняется в рассматриваемых пространствах) неравенства следует, что сумма двух не параллельных векторов (одинаково ориентированных по времени) всегда имеет положительную норму.
Если брать факторпространство, то получим тривиальное пространство из одной точки, так как для любых двух векторов $x,y$ существует вектор $z$, что $|x-z|=|y-z|=0$.

[Scholium]

Руст писал(а):

Scholium писал(а):

Далее, полунорма это всего лишь ослабление первой аксиомы нормы, когда допустимы подпространства с нулевой нормой. А факторпространство по этому подпространству уже будет с полноценной нормой.

Вектора с нулевой нормой не образуют подпространство. Из обратного (строгого, которое выполняется в рассматриваемых пространствах) неравенства следует, что сумма двух не параллельных векторов (одинаково ориентированных по времени) всегда имеет положительную норму.
Если брать факторпространство, то получим тривиальное пространство из одной точки, так как для любых двух векторов $x,y$ существует вектор $z$, что $|x-z|=|y-z|=0$.

«Вектора с нулевой нормой не образуют подпространство» это верно, а с вектора с нулевой полунормой подпространство образуют, точнее могут образовывать. Соответственно, «факторпространство по этому подпространству уже будет с полноценной нормой». По крайней мере так пишут в стандартных учебниках, которые я прочитал на днях.

[Руст]

Цитата:

«Вектора с нулевой нормой не образуют подпространство» это верно, а с вектора с нулевой полунормой подпространство образуют, точнее могут образовывать. Соответственно, «факторпространство по этому подпространству уже будет с полноценной нормой». По крайней мере так пишут в стандартных учебниках, которые я прочитал на днях.

Даже вектора с нулевой полунормой (я имел в виду именно это) не образуют подпространство (по крайней мере, когда имеем дело с поличислами). Я уже указал, что факторпространство в этом случае (в случае поличисел) всегда получится пространство с одной точкой. Полноценная норма для одной точки нулевая.