Разобраться в доказательстве Уайлза

[AlexandreII]

Подскажите, пожалуйста, примерный план со ссылками на литературу, чтобы разобраться со всеми инструментами, примененными Уайлзом для доказательства. Очень важно знать порядок: что изучать сначала, а что потом.
Я закончил ВМК с красным дипломом, так что стандартные курсы анализа, ТФКП были. Но алгебры, кажется, было недостаточно. Теории чисел не было вообще, но простые вещи типа сравнений изучались в курсе алгебры.
Во всяком случае, когда читал Коблица "Введение в эллиптические кривые и модулярные формы", то часть, касающаяся основ эллиптических кривых, функции Вейерштрасса и группового закона, оказалась вполне понятной. В то же время Кнэпп "Эллиптические кривые" оказался трудным для понимания: групповые характеры, группа Галуа, представления Галуа, деформации Галуа, голоморфные дифференциалы, якобианы многообразий и т.д. - все это темный лес.
Готов изучать и разбираться, но хотелось бы иметь план, что в каком порядке и что именно лучше читать.

[Don Quijote]

Уважаемый AlexandreII,

на то что бы полностью разобраться с доказательством, или хотя бы со всеми необходимыми "инструментами" может уйти не один год (если не все десять)... Ну во первых Вам обязательно надо прочитать вводный курс алгебры. Без групп Галуа здесь делать нечего. Для этого есть достаточно разных источников. Например F. Lorenz "Algebra Volume 1: Fields and Galois Theory" или хотя бы тот же Milne "Fields and Galois Theory" ( на странице http://www.jmilne.org/math/ ). Не вредно также полистать S. Lang "Algebra". Это ну в самую первую очередь.

Потом всё таки необходимо знать (алгебраическую) теорию чисел: здесь могут помочь Боревич, Шафаревич "Теория чисел", J.-P. Serre "Local class field theory", J. Neukirch "Algebraic number theory" (у этой книги есть продолжение Neukirch, Schmidt, Wingberg "Cohomology of number fields" - боюсь, её читать тоже придётся ), ну и куча других.

Потом, конечно, эллиптические кривые и модульные формы. По формам я не спец, хороших книг не знаю.. есть например Diamond, Shurman "A first course in modular forms"... вполне читабельно. По элл.кривым лично мне больше всех импонирует Silverman "Arithmetic of Elliptic Curves". Но есть и куча других книг... например Husemoeller "Elliptic curves". Хоть что-нибудь надо знать и о абелевых многообразиях. Для этого есть например Mumford "Abelian Varieties", но это только после след. пункта.

Имхо самый главный (и самый объёмный) пункт, это язык алгебраической геометрии. Незнаю насколько можно обойтись без него, но сильно предполагаю, что это просто невозможно. Да это и не выход. Здесь есть Манин "Введение в алгебраическую геометрию" (простенько, но со вкусом; абсоютный минимум), Hartshorne "Algberaic geometry" (читать будет не просто), Milne с одноимённым названием, ну и конечно сам великий Гротендик (EGA, SGA, хотя многие не воспринимают их как книги для чтения... да их и не все надо наизусть знать, что бы читать Уайлза. Но EGA1 полистать никак не повредит).

После всего этого можно попробовать читать такие вещи как Darmon, Diamond, Taylor "Fermat's Last Theorem" (не плохая обзорная статья, наверняка здесь на форуме уже всплывала) ну и Cornell, Silverman, Stevens "Modular Forms and Fermats Last Theorem". Хотя для работы с ними нужен вполне оформившийся опыт всего вышеперечисленного...

Ещё, если мне не изменяет память в научно-популярной книге Сингха "Великая теорема Ферма" вроде есть список рекомендуемых книг, хотя я совсем не помню что там числится.

Что бы не сложилось неправильного впечатления, должен заметить, что доказательство теоремы Ферма я ни в коей мере полностью не знаю... так, по чуть-чуть из разных уголков. Всё никак руки не доходят серьёзней занятся

Да и ещё: я не претендую на полноту вышеперечисленного списка. Даже наоборот, она меня бы удивила. Наверняка есть ещё сотни хороших книжек по всем этим темам, которые проехали мимо меня. Но надеюсь, что хоть как-то смог Вам помочь.

[AlexandreII]

Уважаемый Don Quijote,

Большое спасибо за ответ, за информацию, за книги.
Наверное, мне стоит конкретизировать свою просьбу, чтобы надеяться на более точный план.
На самом деле, я не вижу особого смысла в самой теореме Ферма: забавный факт, не более. Но как сказали многие, она стимулировала развитие теории чисел, и Уайлз использовал самые современные инструменты. Вот их-то и интересно изучить, а доказательство Уайлза - как пример их действия.
Программа-минимум у меня - понять до последнего слова само доказательство теоремы Ферма через эллиптические кривые + модулярные формы: хотелось бы понять доказательства всех нужных теорем, за исключением теоремы Таниямы-Шимуры-Вейля.
Программа-максимум - понять все, включая саму теорему ТШВ.
Я бы еще добавил в список книгу Манин, Панчишкин. "Введение в современную теорию чисел" (2010) - самый современный на сегодняшний день обзор положения дел в теории чисел. Там, кстати, разобрано доказательство ТШВ. Даже отдельные переходы можно уяснить. Но о полном понимании не может быть и речи, когда, например, встречаешь "Рассмотрим кольцо модулярных деформаций..."....

По поводу групп Галуа есть вопросы. Я когда-то изучал, но можно и повторить. По-простому, группа Галуа многочлена есть группа перестановок всех корней многочлена, оставляющая на месте элементы основного поля. С ней связаны вопросы разрешимости полиномиальных уравнений в радикалах. Но в книгах по теории чисел встречается еще абсолютная группа Галуа, теорема Кронекера-Вебера, представления Галуа, когомологии Галуа, деформации Галуа. Где можно про все это почитать? Мог бы кто-нибудь объяснить наглядно на примере (особенно когомологии и деформации Галуа)? Просто абстрактные определения пока тяжело воспринимать.

[sceptic]

AlexandreII в сообщении #315745 писал(а):

По поводу групп Галуа есть вопросы. Я когда-то изучал, но можно и повторить. По-простому, группа Галуа многочлена есть группа перестановок всех корней многочлена, оставляющая на месте элементы основного поля. С ней связаны вопросы разрешимости полиномиальных уравнений в радикалах. Но в книгах по теории чисел встречается еще абсолютная группа Галуа, теорема Кронекера-Вебера, представления Галуа, когомологии Галуа, деформации Галуа. Где можно про все это почитать? Мог бы кто-нибудь объяснить наглядно на примере (особенно когомологии и деформации Галуа)? Просто абстрактные определения пока тяжело воспринимать.

Есть такая книжка: Cepp Ж.-П. Когомологии Галуа. Легко отыскивается в Сети. А, вообще, по поводу КГ пообщайтесь с Л. Посицельским. Он точно даст хороший совет.

[AlexandreII]

Спасибо за информацию.
Про Серра слышал, но его и многих других последователей школы Бурбаки для меня очень тяжело читать, слишком абстрактно. Вполне согласен, что это может быть из-за недостатка у меня настоящего алгебраического образования. Поэтому для старта пытаюсь найти что-то более наглядное, а там и до Серра может дойти и может даже (о ужас! до Гротендика.
На его EGA давно смотрел, правда на русском ничего не могу найти, а французский учил в том числе и ради EGA (Я французский выучил только за то, что на нем разговаривал Гротендик (C):-). Но сейчас для меня его очень тяжело читать.

[age]

План примерно такой:
1. Вначале знакомитесь, каким образом эллиптические кривые приводятся к форме Вейерштрасса.
2. Затем знакомитесь с кривой Фрея и смотрите ее дискриминант. (тут прямая связь с теоремой Ферма, потому что если теорема Ферма несправедлива, то кривой Фрея не существует).
3. Далее смотрите что такое полустабильная эллиптическая кривая и что такое ее кондуктор.
4. Далее смотрите, как кривая Фрея приводится к полустабильной форме.
5. Далее знакомитесь с модулярными формами, их пространством и уровнем (для теоремы Ферма нужны только формы веса 2).
5. Далее знакомитесь с Теоремой Рибета: Если теорема Ферма несправедлива, то в соответствие кривой Фрея нельзя поставить ни одной модулярной формы веса 2. Т.е. она не может быть модулярной.
6. В конце концов доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры: если эллиптическая кривая не может быть модулярна, то ее попросту не существует. Т.е. не выполняется теорема Рибета. Вот этот пункт доказал Вайлс. Т.е. без теоремы Рибета связи у работы Вайлса с теоремой Ферма вообще нет. Он лишь доказал, что всякая эллиптическая кривая должна (обязана) быть модулярна. Обладать этим свойством.

[AlexandreII]

Я начал разбираться в теории согласно предложенным планам, и появились вопросы.
1. Форма Вейерштрасса: $y^2 = x^3 - g_2 x - g_3$, правильно?
2. Как определяется дискриминант?
Есть мнение, что дискриминант эллиптической кривой есть просто дискриминант кубического полинома в правой части формы Вейерштрасса, тогда его можно вычислить:
$D = g_2^3 - 27 g_3^2$, как например, у Коблица.
В то же время при приведении кривой к глобально минимальной форме (это форма, когда степень каждого простого числа входящего в дискриминант не может быть уменьшена и все коэффициенты целые) используются замены:
$x = u^2 x' + r, y=u^3 y' + su^2 x' + t$.
При таких заменах уравнение будет выглядеть как
$ y^2 + a_1 x y + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$
Хочу подчеркнуть: мне не нужно выражение для дискриминанта, его можно посмотреть в книгах, мне нужно определение.
Кстати, то, что дискриминант кривой Фрея равен $\frac{(ABC)^{2n}}{256}$, а не просто $(ABC)^{2n}$ обусловлено именно приведением к глобально минимальной форме Вейерштрасса.

[age]

AlexandreII

Цитата:

1. Форма Вейерштрасса: $y^2 = x^3 - g_2 x - g_3$, правильно?

Правильно.

Цитата:

2. Как определяется дискриминант?

Об этом можно почитать даже в википедии.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Эллиптическая_кривая

Цитата:

Кстати, то, что дискриминант кривой Фрея равен $\frac{(ABC)^{2n}}{256}$, а не просто $(ABC)^{2n}$ обусловлено именно приведением к глобально минимальной форме Вейерштрасса.

Это связано с приведением кривой Фрея к полустабильной форме.

[AlexandreII]

Уважаемый age,

Простите, я пропустил 4-ку в уравнении:
Форма Вейерштрасса: $y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3$ - в этом виде уравнение напрямую параметризуется функцией Вейерштрасса и ее производной.

Про дискриминант.
То, что можно прочитать в Википедии я уже писал:

Цитата:

Есть мнение, что дискриминант эллиптической кривой есть просто дискриминант кубического полинома в правой части формы Вейерштрасса

Дискриминантом полинома $p(x) = a_0 + a_1 x + ... a_n x^n$ называется произведение:
$D(p) = a_n^{2n-2} \prod_{i<j}(a_i-a_j)^2$
Исходя из этого определения, можно вычислить дискриминант для кубического полинома $a x^3 + b x^2 + cx + d$:
$ D = -4b^3d - 27a^2d^2 + 18 abcd - 4ac^3 + b^2c^2$.
Следовательно, для кривой в форме Вейерштрасса:
$D = - 27*16 g_3^2 + 4*4 g_2^3$, отличается множителями от выражения в Коблице. Но если сделать замену:
$ x = x' / 4^{1/3}$, то получается
$D = g_2^3 - 27 g_3^2$, в точности как в Коблице и Милне, например. Зачем избавляться от множителей - понятно: надо привести дискриминант к минимальному виду, чтобы анализировать, какие простые p, делящие дискриминант "неубираемы" в принципе: такие p обеспечивают плохую редукцию: дискриминант равный нулю делает кривую особой.

Так вот, такое определение дискриминанта невозможно принять для общего уравнения эллиптической кривой:
$y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$, поскольку x есть еще и в левой части. При приведении к глобально минимальной форме получается именно общее уравнение.
Если посмотреть, например, статью http://en.wikipedia.org/wiki/Tate's_algorithm, то дискриминант считается с участием еще и $a_1$ (формулу не копирую, по ссылке можно посмотреть).

Таким образом, вопрос открыт: какое определение у дискриминанта эллиптической кривой в общем виде? Понятно, что в книгах пишут, что дискриминант позволяет отличить кривую с особенностями от неособых кривых, но понятно, что это не определение.

Теперь об этом:

Цитата:

Цитата:

Кстати, то, что дискриминант кривой Фрея равен $\frac{(ABC)^{2n}}{256}$, а не просто $(ABC)^{2n}$ обусловлено именно приведением к глобально минимальной форме Вейерштрасса.

Это связано с приведением кривой Фрея к полустабильной форме.

У Милна http://www.jmilne.org/math/Books/ectext.pdf на стр. 59 есть определение: полустабильной называется кривая, которая имеет плохую редукцию по некоторым простым p только нодального (node) типа, на стр.8 дается определение node - это точка, в которой обе первых производных эллиптической кривой равны нулю, а хотя бы одна вторая нет.
Я нигде не могу найти, что кривую можно привести к полустабильному виду, она или уже такая или не будет такой никогда. Напишите, где можно почитать обоснование того, что я ошибаюсь в своем утверждении.
На стр.77 того же Милна написано про глобально минимальную форму и какие замены к ней приводят, это уже все цитировалось выше. Если проделать все выкладки, то действительно можно увидеть, что коэффициенты остаются целыми, а дискриминант уменьшается (по модулю).
Уважаемый age, не могли бы вы привести обоснование, что уменьшенный дискриминант кривой Фрея появляется при приведении к полустабильной форме, как вы утверждали: можно написать выкладки или хотя бы ссылку на книгу/статью, где это есть. Заранее спасибо.

[age]

AlexandreII

Цитата:

Дискриминантом полинома $p(x) = a_0 + a_1 x + ... a_n x^n$ называется произведение:
$D(p) = a_n^{2n-2} \prod_{i<j}(a_i-a_j)^2$
Исходя из этого определения, можно вычислить дискриминант для кубического полинома

Не усложняйте. Там все гораздо проще. Особенно для кривой Фрея. Ссылку на дискриминант я дал. Посчитать его на листике бумаги можно за 5 минут. Дискриминант кривой Фрея вы нашли (самостоятельно ли?). Надо самостоятельно, тогда все поймете.

Цитата:

Уважаемый age, не могли бы вы привести обоснование, что уменьшенный дискриминант кривой Фрея появляется при приведении к полустабильной форме, как вы утверждали: можно написать выкладки или хотя бы ссылку на книгу/статью, где это есть. Заранее спасибо.

К сожалению, я сам всего этого не знаю. По моим соображениям могу написать, что приведение к полустабильной форме необходимо для того, чтобы в кондукторе кривой все $\varepsilon_p=1$ при $p\geq5$. Без этого теорема Рибета недоказуема.
В общем, вот тема, где мы с ним разбирались:
topic29560.html
А вот статья профессора Соловьева в помощь для изучения трудных моментов:
http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9802_135.pdf

P.S.
Да я и сам пытался сделать обобщение кривой Фрея на гипотезу Биля. Там все чудесно получается в точности как и с теоремой Ферма. Единственное, что остается непонятным - это приведение "моей" модифицированной кривой Фрея к полустабильной форме. Было бы очень интересно взглянуть.

Если там кондуктор получится такой же, то точно также берем теорему Рибета, гипотезу Таниямы-Шимуры и получаем модулярную форму, лежащую в пространстве $S_2(2)$, размерность которого нулевая. Т.е. доказательство гипотезы Биля.

Поэтому вопрос насчет "полустабильности" действительно интересен.

[ananova]

AlexandreII в сообщении #316522 писал(а):

надо привести дискриминант к минимальному виду, чтобы анализировать, какие простые p, делящие дискриминант "неубираемы" в принципе: такие p обеспечивают плохую редукцию: дискриминант равный нулю делает кривую особой.

Интересно, что же это за простые числа? Есть ли у них какое-нибудь глобальное свойство, объединяющее их? Может быть у них значения функции Эйлера имеют общие множители с функциями Эйлера чисел $x,y,z$ уравнения Ферма? (Подобное свойство, возможно бы дало ещё одно направление для доказательства.)

[sceptic]

В качестве альтернативы плану age рискну предложить начать вхождение в тему через изучение книги Gary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. В ней читатель последовательно вводится в тематику (и в части идей и в части техники) по всем этапам доказательства Уайлза. Изложение достаточно подробное, с исчерпывающей библиографией первоисточников.

[AlexandreII]

Большое спасибо за информацию.

Пока из тех книг, что упомянуты выше, для меня самой наглядным оказался Хьюзмюллер. Пользуясь случаем, хочу посоветовать ее тем, кто также хочет разобраться. Но, уважаемый sceptic, предложенную вами книгу тоже обязательно посмотрю.

Я проделал все выкладки с дискриминантом, и все получилось. Если интересно, могу прикрепить файл с выкладками. Вкратце, дискриминант эллиптической кривой действительно есть дискриминант кубического полинома. В общем виде надо сделать замену, приводящую к форме Вейерштрасса. При допустимых заменах дискриминант меняется как $D_1 = D / u^{12}$. Все результаты совпали с классическим "алгоритмом Тейта". Кривая Фрея имеет дискриминант $(ABC)^{2n}/256$ из-за приведения к глобально минимальной форме.

Сейчас разбираюсь с группой Галуа и когомологиями. Вкратце, они используются для современного доказательства теоремы Морделла-Вейля. Весьма продвинутая и популярная современная техника.
Собираюсь дальше выкладывать в этой теме вопросы по ходу возникновения. Надеюсь, это поможет еще разобраться кому-то.

[yk2ru]

AlexandreII в сообщении #318263 писал(а):

Пока из тех книг, что упомянуты выше, для меня самой наглядным оказался Хьюзмюллер.

И где выше эта книга упомянута?

[AlexandreII]

В первом ответе:

Цитата:

Потом, конечно, эллиптические кривые и модульные формы. По формам я не спец, хороших книг не знаю.. есть например Diamond, Shurman "A first course in modular forms"... вполне читабельно. По элл.кривым лично мне больше всех импонирует Silverman "Arithmetic of Elliptic Curves". Но есть и куча других книг... например Husemoeller "Elliptic curves". Хоть что-нибудь надо знать и о абелевых многообразиях. Для этого есть например Mumford "Abelian Varieties", но это только после след. пункта.