Доказательство ВТФ Уайлса пригодное для чтения

[grisania]

На форуме часто пишут, что доказательство ВТФ, предложенное Великим Уайлсом слишком длинное и сложное. Поэтому его до конца понимают небольшое количество математиков. На форуме даже есть Опрос: Великая теорема Ферма (Нуждается ли проблематика Великой теоремы Ферма в систематизации?)
Приведу несколько постов оттуда.

Ales в сообщении #279808 писал(а):

Современное доказательство выглядит таинственным. Поэтому вопрос требует прояснения и систематизации, хотя никто результаты не оспаривает. Классические результаты систематизированы и хорошо изложены во многих книгах. Современные, к сожалению, пока еще нет. Математика вокруг БТФ очень интересна и плодотворна, из нее много чего получили, это целая наука. Нельзя просто так все забыть и поставить жирный крест.

Ramil в сообщении #279827 писал(а):

Полностью согласен. Теорема должна быть систематизирована.
А что Вы подразумеваете под "современными рез-тами"?

Ales в сообщении #280909 писал(а):

------------------------
Естественно. Если же такое невозможно, то с минимальными отсылками к известным учебникам, а не к специализированным статьям.
-----------------------------------
Почему этот результат за двадцать лет не разобран подробно и не опубликован в виде пригодном для чтения? Это вызывает обоснованные подозрения.

Следовательно, форумное сообщество не удовлетворено. Такая же ситуация наблюдается повсеместно - не все в мировом математическом сообществе удовлетворены длинным и сверхсложным доказательством Уайлса. Естественно возникает вопрос, почему доказательство Уайлса не изложено в виде, пригодном для чтения? Тогда всякие подозрения о неправильности доказательство Уайлса отпали бы сами собой. Поэтому я задался целью порыться в Интернете и найти доказательство, которое претендует на вид пригодный для чтения. Это оказалось сделать несложно. Вот доказательство, предложенное не спецом по теории чисел, а спецом по теории вероятностей:
http://www.swansonsite.com/W/theses/introflt.pdf
http://www.swansonsite.com/W/cv.pdf
http://www.swansonsite.com/W/

На сколько это доказательство пригодно для чтения, пока не знаю. Прилагаю перевод введения к этой работе.
В математическом сообществе как бы безоговорочно принят факт, что долгожданное доказательство ВТФ действительно найдено. Однако как член математического сообщества, я нахожусь в незадачливом положении для обсудждения или засвидетельствования верности этого доказательство. Мне сказали, что количество времени, необходимое, чтобы получить знания, достаточные для критики доказательство, измеряется годами. После краткого обзора использованного математического апапрата я убедился, что это верно. Поэтому создана неловкая стуация, кода решение такой классической проблемы предстало в виде, понятном только наиболее искушенным экспертами. Именно по этой причине я пишу эту работу. Надеюсь, что эта работа может служить начальным справочником любому заинтересованному изучением необходимых сведений для собственной проверки верности доказательства ВТФ.

PS. Просьба к модераторам не соединять эту тему с темой "Опрос: Великая теорема Ферма". Опрос - это не доказательство, пригодное для чтения, а голосование - верно оно или нет. А всякие голосования не доказательства чего-либо. А обсудить эту работу стоит, да и наверно таких работ много. Было бы интересно их знать.

[venco]

grisania в сообщении #281229 писал(а):

Вот доказательство, предложенное не спецом по теории чисел, а спецом по теории вероятностей:
http://www.swansonsite.com/W/theses/introflt.pdf

Из статьи:

Цитата:

The proof given here for Fermat’s Last Theorem is hardly a proof at all. Many of the
facts given in this paper were stated without proof and, more importantly, no mention has been
made of the method Wiles employed to show that all semistable elliptic curves are modular.
This, of course, was his major contribution and what you see here is a very brief sketch of some
of the mathematics involved in determining that this fact implies Fermat’s Last Theorem. This
paper is meant as a guide, both for myself and the interested reader. The next step in my
investigation of this topic will be to study the points of finite order on elliptic curves and their
respective Galois representations.

Т.е. тут просто собраны все(?) шаги доказательства, но без собственно доказательств.

[grisania]

Значит, облом. В конец не посмотрел. Но ясно, что надо затратить годы, чтоб понять доказательство Уайлса, жуть аднака.

[venco]

Интересно, что доказательство Вайлса, похоже, опирается на ранее доказанные случаи $n=3$, и $n=4$.

[age]

grisania в сообщении #281256 писал(а):

Но ясно, что надо затратить годы, чтоб понять доказательство Уайлса.

По-моему, это тот самый случай $P\neq NP$, когда понять доказательство сложнее, чем обнаружить ошибку. Поэтому я бы поостерегся пока называться Вайлса "великим Вайлсом".

Я, кстати, тоже дочитал до того и что такое "кондукторы", и что такое "модулярные формы", но вот про метод Колывагина-Флаха вообще нипета не понял. А в доказательстве Вайлса это всего лишь начало, отправная точка!

[Ales]

Просмотрев эту статью, я снова вижу: доказательство Рибета-Фрея-Уайлса опирается на то, что при разложении дискриминанта кривой Фрея $\Delta=\frac{(abc)^{2n}}{256}$ на простые числа, степень двойки не делится на показатель степени уравнения Ферма, а остальные степени делятся. Если бы в знаменателе не было бы 256, то тогда бы доказательство не годилось. Хорошо бы кто-нибудь это прояснил: почему там 256, и можно ли обобщить Теорему Ферма под доказательство Рибета? Или 256 вообще не причем?

-- Пн янв 18, 2010 13:48:43 --

venco в сообщении #281301 писал(а):

Интересно, что доказательство Вайлса, похоже, опирается на ранее доказанные случаи $n=3$, и $n=4$.

Кажется, Вы здесь не правы. По крайней мере, это не видно из текста доказательства.

[venco]

Ales в сообщении #281389 писал(а):

venco в сообщении #281301 писал(а):

Интересно, что доказательство Вайлса, похоже, опирается на ранее доказанные случаи $n=3$, и $n=4$.

Кажется, Вы здесь не правы. По крайней мере, это не видно из текста доказательства.

Я сделал такой вывод из параграфа:

Цитата:

XX. Fermat's Last Theorem
There are no non-zero integers $x, y, z$ such that $x^n + y^n = z^n$ when $n \ge 3$.
PROOF
Proofs of the specific cases $n = 3$ and $n = 4$ are available elsewhere. Assume there are non-zero
integers $x, y, z$ and an integer $n \ge 3$ such that $x^n + y^n = z^n$. Since the theorem is true for the cases
$n = 3$ and $n = 4$, there must be a prime $q \ge 5$ such that $q | n$.
...

[age]

Ales
В общем все доказательство по сути это два факта:
1. Всякая эллиптическая кривая, имеющая рациональные точки, является модулярной.
2. Кривая Фрея не является модулярной, т.е. не может иметь рациональных точек.

Вот статья Соловьева:
http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9802_135.pdf

из которой следует следующее:

Цитата:

Трудно представить, что функция $f(z)$, удовлетворяющая перечисленным выше весьма ограничительным условиям:
$f\left(\dfrac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^2f(z)$
$f(z)=\sum\limits_{n=1}^\infty{a_nq^n}$
$a_1=1,\ a_{p^r}a_p=a_{p^{r+1}}pc_{p^{r+1}}$ - для $p\ |\ N$
$a_{p^r}=(a_p)^r$ - для $p\not|\ N$
коэффициенты которого $a_p=p-n_p$, где $p$ - простое число, делящее дискриминант эллиптической кривой,
$n_p$ - количество решений сравнения $y^2\equiv x^3+ux+v(\mod p)$,
где $u,v$ - остатки от деления коэффициентов эллиптической кривой $y^2=x^3+ax+b$ на $p$.
- может быть проанализирована по всем этим ограничениям.

Откуда я делаю вывод, что полученное доказательство - чистая игра формул и случайностей:

Цитата:

Однако эмпирический материал, полученный в первой половине нашего века, позволил японскому математику Ю. Танияме (1927-1958) сформулировать в 1955 году удивительную гипотезу.

т.е. Танияма тупо увидел (заметил), что эллиптические кривые с рациональными коэффициентами почему-то являются модулярными. . Отсюда и гипотеза Таниямы.
А Вайлс просто (опять же не понимая сам почему), это подтвердил.
Плюс утверждение Рибета о кривой Фрея (тоже видимо не до конца осознанное, но удивительным образом случающееся).
Вот и доказательство теоремы Ферма. Ерунда.

[yk2ru]

age в сообщении #281454 писал(а):

т.е. Танияма тупо увидел (заметил), что эллиптические кривые с рациональными коэффициентами почему-то являются модулярными. . Отсюда и гипотеза Таниямы.А Вайлс просто (опять же не понимая сам почему), это подтвердил.

Танияма увидел (заметил), сформулировал гипотезу, Вайлс доказывал верность гипотезы.
Также ранее вроде было доказательство того, что из верности гипотезы Танияма следует и верность теоремы Ферма.

[Ales]

age в сообщении #281454 писал(а):

Вот статья Соловьева

Статья хорошая, я ее читал. Но она, к сожалению, только знакомит с материалом, мало что разъясняет и мало объясняет.

-- Пн янв 18, 2010 23:48:06 --

age в сообщении #281454 писал(а):

Откуда я делаю вывод, что полученное доказательство - чистая игра формул и случайностей

А вот это, полагаю, не так. Это не случайно, и если нет ошибок, то эта теория отражает какие-то алгебраические свойства трехчленов. Теорема Ферма формулируется для троек чисел, а эллиптические функции, благодаря которым она доказывается, появляются при решении дифференциального уравнения $y'^2=a_3y^3+a_2y^2+a_1y+a_0$. За этим могут стоять замечательные свойства чисел и единство алгебры. Думаю, что если бы кто смог прояснить эти связи, было бы очень здорово.

[age]

А я вот что-то не совсем пойму как кривая Фрея $y=x(x-a^n)(x-c^n)$ связана с теоремой Ферма?
В общем, я преобразовал ее к виду эллиптической кривой, у меня получилось вот что:

$y^2=x^3-\dfrac{a^{2n}-a^nc^n+b^{2n}}{3}x-\dfrac{(2c^n-a^n)(c^n-2a^n)(c^n+a^n)}{27}$

Ее дискриминант равен $\Delta=a^{2n}c^{2n}(c^n-a^n)^2$, т.е. если $c^n-a^n=b^n$, то $\Delta=a^{2n}b^{2n}c^{2n}$.

Кажется понятно. Кривая Фрея связывает теорему Ферма с эллиптическими кривыми и задает кривую, кондуктор которой равен:

$$N=\prod\limits_{p|abc}{p^{\varepsilon_p}}$$

[Ales]

age в сообщении #281454 писал(а):

Танияма тупо увидел

Не могу согласиться с Вашими словами. Чтобы "тупо увидеть" это свойство, надо было потрудиться. Но Вы правы в том смысле, что кажется, здесь все проделано без понимания истинных причин. Думаю, что тот, кто поймет, почему все это так устроено и почему эллиптические функции обладают такими свойствами, и тот, кто сможет это объяснить, сделает больший вклад в математику, чем например, тот же Уайлс. Поэтому искать параллельное доказательство Теоремы Ферма чрезвычайно полезно: если такое будет найдено, то может быть вскроются причины свойств эллиптических функций, а если еще при этом будут придуманы новые методы, то это будет прорыв в математике, возможно лучший за последние 50 лет. Но конечно, нужны новые методы, без них это будет просто объяснение, а не новое открытие.

-- Вт янв 19, 2010 00:35:11 --

age в сообщении #281506 писал(а):

Ее дискриминант равен , т.е. если , то .

У Рибета он еще разделен на 256 и поэтому кривая не модулярна.

[age]

Ales
Нет, я считал. Никакого $256$ там нету. Да и делать там ему нечего, сами посудите:

Цитата:

Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой.

$$N=\prod\limits_{p|\Delta}{p^{\varepsilon_p}}$$

Т.е. даже если в дискриминант двойка входит в восьмой степени, а она в него входит в степени $2n$ и выше, т.к. $\Delta=(abc)^{2n}$, то в кондуктор она все равно войдет либо в первой степени, либо

Цитата:

для всех простых чисел $p\geq5|\Delta$, показатель $\varepsilon_p$ равен 1. Показатели $\varepsilon_2$ и $\varepsilon_3$ вычисляются с помощью специального алгоритма.

Не знаю, может быть вы и правы, если число $256$ влияет на специальный алгоритм, но в моих вычислениях получилось строго $(abc)^{2n}$

[Ales]

age в сообщении #281515 писал(а):

Ales
Нет, я считал. Никакого $256$ там нету.

Понятное дело, но у Рибета - есть. Или дискриминант в их теории определяется по-другому, или кривая Фрея приводится к такому виду, что ее дискриминант меньше в 256 раз (а это $2^8$).

-- Вт янв 19, 2010 00:57:06 --

256 не влияет на кондуктор. Но влияет на модулярность.

-- Вт янв 19, 2010 01:04:52 --

Ужасно Ну зачем обозначать через $\varepsilon_p$ обычную 1 И зачем скрывать чему равны $\varepsilon_2$ и $\varepsilon_3$? Хватило же места для "специальный алгоритм". Неудивительно что их теорию никто не понимает, там будто нарочно тумана напустили.

[age]

Кстати, насчет модулярности я тоже не понял. Сказано, если заданная кривая модулярна, т.е. существует форма уровня $N$ (кондуктор кривой), то найдется другая форма уровня $N_n$, где $n$ - показатель степени в теореме Ферма, такая что для каждого $(a_i-d_i)\div n$ для всех $i>n$, где $a_i$ - коэффициенты формы веса $N$, $d_i$ - коэффициенты формы веса $N_n$.
Кондуктор $N_n$ получается из кондуктора $N$ делением его на все простые $p$ такие, для которых $\varepsilon_p=1$.

-- Вт янв 19, 2010 02:10:00 --

Ales в сообщении #281516 писал(а):

Ужасно Ну зачем обозначать через $\varepsilon_p$ обычную 1 И зачем скрывать чему равны $\varepsilon_2$ и $\varepsilon_3$? Хватило же места для "специальный алгоритм". Неудивительно что их теорию никто не понимает, там будто нарочно тумана напустили.

Мне тоже так это все не нравится, но решил поучаствовать в теме.