Идеал в C(R)

[id]

Цитата:

Кстати, в процессе придумывания возникла задачка в тему, что-то сразу не соображу:

Пусть $N:=\{i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathbb R$. Рассмотрим идеал функций $f \in C(\mathbb R)$ таких, что $\mathrm {card} \{ i \in N: f(i) \neq 0\} < \infty$.

Он максимален?

Хм, в той теме задачка что-то не вызвала интереса.

[RIP]

Он не максимален. К нему можно прибавить главный идеал $\left(\sin\frac{\pi x}2\right)$, и в полученном идеале не будет, например, функции $\cos\frac{\pi x}2$.

(Нажмите сюда для отображения/скрытия последующего блока оффтопика)

Что-то мне на ум приходят слова "неглавный ультрафильтр". К чему бы это?

[id]

RIP
Спасибо, вопрос решился! (увы, сам в эту сторону почему-то совсем не подумал )

А что Вы имеете ввиду этим не совсем ясным намеком? То есть будет какая-то двойственность фильтров и идеалов, и что-то интересное будет в данном случае?

[RIP]

id в сообщении #315919 писал(а):

А что Вы имеете ввиду этим не совсем ясным намеком?

Ну, что-то мне подсказывает, что если рассмотреть идеал из функций, для которых множество натуральных нулей принадлежит какому-то фиксированному ультрафильтру (а не просто фильтру кофинальных подмножеств), то он (идеал) максимальный. (Если ультрафильтр главный, то получается всё тот же злополучный $I_c$.)

[id]

RIP
Главный ультрафильтр, порожденный данным элементом $n \in \mathbb N$ будет семейством надмножеств $\{n\}$ из $\mathbb N$. Хм.. , ну да, $I_n$ получается.

Занятная задача получается, интересно.

-- Ср май 05, 2010 21:04:23 --

Так... пусть $J$ есть идеал из функций, для которых множество натуральных нулей принадлежит какому-то фиксированному ультрафильтру. Допустим, что он не максимальный и содержится в максимальном $I$.

Пусть $f \in I \setminus J$. Тогда множество ее натуральных нулей непусто (иначе рассматриваем $f^2 + $ квадрат какой-то функции из $J$, обращающейся в ноль на $\mathbb N$, получаем обратимый элемент )

Значит, у каждой такой функции $f$ подмножество натуральных нулей непусто, и не принадлежит исходному ультрафильтру. Но нули функций из $I$ образуют фильтр, мажорирующий исходный, противоречие?..

-- Ср май 05, 2010 21:12:09 --

А, еще надо проверить аксиому про то, что надмножество любого элемента фильтра тоже лежит в фильтре.

[id]

Хотя нет, ничего проверять уже не надо. Пусть $f \in I \setminus J$, $M$ - ее натуральные нули. Тогда $M$ - натуральные нули функции $f^2$. При этом $\mathbb N \setminus M$ должно лежать в исходном ультрафильтре, значит, есть мн-во нулей некоторой неотрицательной функции из $J$. Рассматриваем сумму ее и $f^2$ - и снова обратимый элемент.

Так, кажется.

[RIP]

Можно ещё так. Пусть $f\in C(\mathbb R)\setminus J$, $M$ --- ... Возьмём функцию $g(x)\in C(\mathbb R)$ такую, что $g(x)=1/f(x)$ при $x\in\mathbb N\setminus M$. Тогда множество нулей функции $f(x)g(x)-1=0$ содержит $\mathbb N\setminus M$, поэтому $f(x)g(x)\equiv1\pmod J$. Т.о., $C(\mathbb R)/J$ --- поле (понятно, что $1\notin J$).

[id]

RIP
Так проще, да.

А если брать функции, имеющие нули в некотором другом множестве, не дискретном, то так просто уже вроде как не получится? Ведь не всегда можно будет построить непрерывную $g$ с данными свойствами...

[RIP]

Вот что я надумал. Пусть $\varnothing\ne A\subseteq\mathbb R$, $\mathcal F$ --- собственный фильтр на $A$. Рассмотрим идеал $\{f\in C(\mathbb R)\mid Z(f)\cap A\in\mathcal F\}$, где $Z(f)=\{x\in\mathbb R\mid f(x)=0\}$. Этот идеал является максимальным тогда и только тогда, когда выполнено условие:

для любого замкнутого $F\subseteq\mathbb R$ либо $F\cap A\in\mathcal F$, либо найдётся замкнутое $\widetilde F\subseteq\mathbb R\setminus F$ такое, что $\widetilde F\cap A\in\mathcal F$.

При этом фильтр с таким условием, не являющийся главным ультрафильтром, существует тогда и только тогда, когда множество $A$ неограничено. По-моему, так.