А есть какая-нибудь оценка, содержащая

?

, существенно лучше не оцените (это если без

).
А это Вы как получили?
Вообще я оценивать не умею, только асимптотику искать :)
Написал генератрису максимального из чисел, нашел ближайшую к нулю сингулярность в точке

, связанную с квадратным корнем. Заключил отсюда, что асимптотика такая:

. Константу лень считать, но эмпирические наблюдения подсказывают, что она меньше единицы. То есть я не до конца уверен в своей оценке, но где-то такая.
Например, можно найти асимптотику по

при фиксированном

. Будет (очевидно)

. То есть можно написать

. Подойдет, например,

(самое тупое, что пришло в голову). Для каких-то нужд это хорошая оценка. Для других не очень.
Можно (опять же, лень) найти асимптотику

при фиксированном

из нормальной аппроксимации (ЦПТ). (Кстати, в предыдущем абзаце асимптотику можно получить из пуассоновской аппроксимации.)