Корни полинома

[Woland]

Возникла такая задача: доказать, что полином
x^{a_1}+x^{a_2}+...+x^{a_k} имеет решение над полем С при любых
a_1,a_2,..,a_k из R.(а не из N).

[незваный гость]

Простите, коли ересь скажу.

Первый вопрос, который возникает, это что такое, например $z^{\sqrt2}$. Определять как ${\rm e}^{\sqrt2 \ln z}$ плохо, так как мы имеем счетное семейство возможных значений, отличающихся друг от друга множителем ${\rm e}^{{\rm i} 2 \pi \sqrt 2 k}, k \in {\mathbb Z}$. Можно, конечно, выбрать какой-либо лист, и дальше двигаться по нему.

Коли с этим как-то разберемся, то что Вам мешает дальше пойти каноническим путем:

1) Cчитаем без ограничения общности $0 = a_0 < a_1 < … < a_n$.

2) Обозначим $f(z) = \sum \limits_{k = 0}^{n} z^{a_k}$.

3) Рассмотрим $\oint \!\frac{f'(z)}{f(z)}{\rm d}z$ по окружности большого радиуса $R$. Тогда он должен определяться членом $z^{a_n}$ (все остальные можно сделать сколь угодно малыми, уйдя достаточно далеко). С другой стороны, коли корней нет, то он должен быть равен $0$. Что есть противоречие.

[Руст]

незваный гость писал(а):

3) Рассмотрим $\oint \!\frac{f'(z)}{f(z)}{\rm d}z$ по окружности большого радиуса $R$. Тогда он должен определяться членом $z^{a_n}$ (все остальные можно сделать сколь угодно малыми, уйдя достаточно далеко). С другой стороны, коли корней нет, то он должен быть равен $0$. Что есть противоречие.

Этот интеграл не имеет смысла, когда степени не целые.

[Sasha2]

А так вообще ради интереса, сколько существет корней (и комплексных тоже) из единицы степени корень из двух.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Этот интеграл не имеет смысла, когда степени не целые.

A $z^a$ имеет? Смысл можно придать, двигаясь по листу непрерывно. (Фактически, мы фиксируем аргумент $z$ (произвольное $k$ в $2\pi k$ ), и дальнейшая работа идет с этой «однозначной» функцией.

[незваный гость]

Sasha2 писал(а):

А так вообще ради интереса, сколько существет корней (и комплексных тоже) из единицы степени корень из двух.

Вы имеете в виду нечто вида $\sqrt[\sqrt2]1$?
1) Это запиcывается так:

$\sqrt[\sqrt2]1$

2) Корней — счетное число, они имееют вид ${\rm e}^{{\rm i}\sqrt2 \pi k}, k \in {\mathbb Z}$.

[Sasha2]

незваный гость писал(а):

:evil:

Sasha2 писал(а):

А так вообще ради интереса, сколько существет корней (и комплексных тоже) из единицы степени корень из двух.

Вы имеете в виду нечто вида $\sqrt[\sqrt2]1$?
1) Это запиcывается так:

$\sqrt[\sqrt2]1$

2) Корней — счетное число, они имееют вид ${\rm e}^{{\rm i}\sqrt2 \pi k}, k \in {\mathbb Z}$.

Ну то есть различных корней бесконечно, или это не доказано?

[незваный гость]

Бесконечность. Доказано, доказано…